Номер 64, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

64. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что скрещивающимися являются прямые:

а) $AA_1$ и $C_1D_1$;

б) $AA_1$ и $B_1D$;

в) $AC$ и $B_1D_1$.

Для доказательства того, что две прямые являются скрещивающимися, необходимо показать, что они не пересекаются и не параллельны. Воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

а) AA₁ и C₁D₁

Прямая $C_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания призмы $(A_1B_1C_1D_1)$.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы и по определению пересекает плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ в точке $A_1$.

Точка $A_1$ является вершиной многоугольника $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $C_1D_1$ содержит его сторону. Следовательно, точка $A_1$ не принадлежит прямой $C_1D_1$.

Таким образом, прямая $AA_1$ пересекает плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ в точке $A_1$, которая не лежит на прямой $C_1D_1$, лежащей в этой плоскости. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ скрещивающиеся.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ скрещивающиеся.

б) AA₁ и B₁D

Рассмотрим плоскость диагонального сечения $(BB_1D_1D)$. Прямая $B_1D$ лежит в этой плоскости, так как точки $B_1$ и $D$ принадлежат этой плоскости.

Прямая $AA_1$ — боковое ребро призмы. По свойству призмы, боковые ребра параллельны, то есть $AA_1 \parallel BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $(BB_1D_1D)$. Так как $AA_1$ не лежит в плоскости $(BB_1D_1D)$ (поскольку точка $A$ ей не принадлежит), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BB_1D_1D)$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BB_1D_1D)$, она не пересекает ни одну прямую, лежащую в этой плоскости. Значит, $AA_1$ и $B_1D$ не пересекаются.

Прямые $AA_1$ и $B_1D$ не параллельны. Если бы они были параллельны ($AA_1 \parallel B_1D$), то, учитывая, что $AA_1 \parallel BB_1$, мы бы получили, что $B_1D \parallel BB_1$. Но эти прямые пересекаются в точке $B_1$, что противоречит определению параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно.

Так как прямые $AA_1$ и $B_1D$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $B_1D$ скрещивающиеся.

в) AC и B₁D₁

Прямая $AC$ является диагональю нижнего основания и целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.

Прямая $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания и целиком лежит в плоскости основания $(A_1B_1C_1D_1)$.

По определению призмы, плоскости её оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1D_1)$.

Прямая $AC$ лежит в одной из этих параллельных плоскостей, а прямая $B_1D_1$ — в другой. Следовательно, эти прямые не могут пересекаться.

Проверим, параллельны ли эти прямые. В призме верхнее основание является результатом параллельного переноса нижнего основания. При таком переносе прямая $BD$ переходит в прямую $B_1D_1$, поэтому $BD \parallel B_1D_1$. Таким образом, параллельность прямых $AC$ и $B_1D_1$ равносильна параллельности диагоналей основания $AC$ и $BD$. В общем случае диагонали четырехугольника $ABCD$ не параллельны, а пересекаются. Значит, и прямые $AC$ и $B_1D_1$ не параллельны.

Поскольку прямые $AC$ и $B_1D_1$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $B_1D_1$ скрещивающиеся.