Номер 71, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

71. Отрезок, соединяющий точку $K$ плоскости основания $ABC$ с вершиной $D$ пирамиды $ABCD$, проходит через точку $Q$ (рис. 36). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точки, в которых прямая, проходящая через $Q$ параллельно прямой $AB$, пересекает поверхность пирамиды.

Рис. 36

Для решения данной задачи необходимо выполнить построение в несколько этапов, используя метод сечений. Искомые точки — это точки, в которых прямая, назовем ее $l$, проходящая через точку Q параллельно AB, пересекает боковые грани пирамиды.

1. Построение вспомогательной секущей плоскости

Сначала построим плоскость, в которой лежит искомая прямая $l$. Так как прямая $l$ проходит через точку Q и параллельна прямой AB ($l || AB$), а точка Q, в свою очередь, лежит на отрезке DK, то мы можем определить вспомогательную секущую плоскость $\alpha$ как плоскость, проходящую через прямую DK и параллельную прямой AB.

2. Построение сечения пирамиды плоскостью $\alpha$

Теперь найдем фигуру, которая является сечением пирамиды ABCD плоскостью $\alpha$.

• Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания ABC. Мы знаем, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой AB, которая лежит в плоскости ABC. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия их пересечения будет параллельна прямой AB. Также мы знаем, что точка K принадлежит обеим плоскостям (K лежит в основании по условию и K лежит в плоскости $\alpha$, так как принадлежит прямой DK). Следовательно, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и ABC — это прямая, проходящая через точку K параллельно AB.
• Проведем в плоскости ABC прямую через K параллельно AB. Пусть точки пересечения этой прямой с ребрами AC и BC будут M и N соответственно. Таким образом, отрезок $MN$ является основанием нашего сечения, и $MN || AB$.
• Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через вершину D и прямую MN, то сечением пирамиды является треугольник DMN. Сторона DM этого треугольника лежит в грани ACD, а сторона DN — в грани BCD.

3. Построение искомых точек

Искомая прямая $l$ лежит в построенной нами плоскости $\alpha$ (плоскости треугольника DMN), так как она проходит через точку Q, лежащую в этой плоскости, и параллельна прямой MN (поскольку $l || AB$ и $MN || AB$).

• В плоскости сечения DMN проведем прямую $l$ через точку Q параллельно стороне MN.
• Эта прямая пересечет две другие стороны треугольника DMN — стороны DM и DN. Обозначим точки пересечения $P_1$ и $P_2$.
• Точка $P_1$ — это точка пересечения прямой $l$ с отрезком DM. Так как DM лежит на грани ACD, то $P_1$ — точка на поверхности пирамиды.
• Точка $P_2$ — это точка пересечения прямой $l$ с отрезком DN. Так как DN лежит на грани BCD, то $P_2$ — также точка на поверхности пирамиды.

Таким образом, точки $P_1$ и $P_2$ являются искомыми точками пересечения.

Ответ: Искомые точки $P_1$ и $P_2$ строятся следующим образом: 1) В плоскости основания ABC через точку K проводится прямая, параллельная AB, до пересечения с ребрами AC и BC в точках M и N. 2) Получается сечение — треугольник DMN. 3) В плоскости этого треугольника через точку Q проводится прямая, параллельная MN. Точки пересечения этой прямой со сторонами DM и DN и являются искомыми точками.