Номер 32, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

32. В грани $ABA_1$ и на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $X$, $Y$, $Z$ соответственно (рис. 15). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $XYZ$.

Рис. 15

Для построения точки пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $XYZ$ выполним следующие шаги, которые необходимо последовательно отобразить на чертеже призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с заданными точками $X, Y, Z$.

1. Поскольку точки $X$ и $Y$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$, проведем через них прямую $XY$.
2. Продлим прямую $XY$ до пересечения с прямой $AB$. Точка их пересечения, которую обозначим $M_1$, будет принадлежать как плоскости $(XYZ)$, так и плоскости основания $(ABC)$. Это возможно, так как прямые $XY$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(ABB_1A_1)$.
3. Так как точки $Y$ (на ребре $BB_1$) и $Z$ (на ребре $CC_1$) лежат в одной плоскости грани $BCC_1B_1$, проведем через них прямую $YZ$.
4. Продлим прямую $YZ$ до пересечения с прямой $BC$. Точка их пересечения, которую обозначим $N_1$, будет принадлежать как плоскости $(XYZ)$, так и плоскости основания $(ABC)$. Это возможно, так как прямые $YZ$ и $BC$ лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$.
5. Точки $M_1$ и $N_1$ лежат в плоскости основания $(ABC)$ и в то же время принадлежат плоскости $(XYZ)$. Следовательно, прямая $M_1N_1$, проведенная через эти точки, является следом плоскости $(XYZ)$ на плоскости основания $(ABC)$.
6. Найдем точку пересечения следа $M_1N_1$ с прямой $CD$. Обе прямые лежат в плоскости основания. Обозначим их точку пересечения как $R$. Точка $R$ принадлежит плоскости $(XYZ)$ (так как лежит на следе) и плоскости грани $(CDD_1C_1)$ (так как лежит на прямой $CD$).
7. Теперь мы знаем две точки, принадлежащие одновременно плоскости $(XYZ)$ и плоскости $(CDD_1C_1)$: это точка $Z$ (по условию) и точка $R$ (по построению). Проведем через них прямую $ZR$. Эта прямая является линией пересечения плоскости $(XYZ)$ и плоскости $(CDD_1C_1)$.
8. Искомая точка пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $(XYZ)$ должна лежать на линии пересечения $ZR$. Так как ребро $DD_1$ также лежит в плоскости $(CDD_1C_1)$, то искомая точка является точкой пересечения прямых $DD_1$ и $ZR$. Обозначим эту точку $P$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения ребра $DD_1$ с прямой $ZR$, где $R$ — точка пересечения прямой $CD$ со следом $M_1N_1$ плоскости $(XYZ)$ на плоскости основания, а точки $M_1$ и $N_1$ — это точки пересечения прямых $XY$ и $YZ$ с прямыми $AB$ и $BC$ соответственно ($M_1=XY \cap AB$, $N_1=YZ \cap BC$).