Номер 29, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

29. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ (рис. 12). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения прямой $a$ с плоскостью $\beta$.

Рис. 12

Для решения задачи проанализируем условие. Даны две плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, которые пересекаются по прямой $ l $. Это означает, что любая точка, лежащая на прямой $ l $, принадлежит одновременно обеим плоскостям. Математически это записывается как $ l = \alpha \cap \beta $.

Прямая $ a $ полностью лежит в плоскости $ \alpha $ ($ a \subset \alpha $). Нам необходимо найти точку пересечения прямой $ a $ с плоскостью $ \beta $. Обозначим эту искомую точку как $ M $.

По определению, точка пересечения $ M $ должна удовлетворять двум условиям:
1. Точка $ M $ должна лежать на прямой $ a $ ($ M \in a $).
2. Точка $ M $ должна лежать в плоскости $ \beta $ ($ M \in \beta $).

Поскольку прямая $ a $ целиком лежит в плоскости $ \alpha $ ($ a \subset \alpha $), то любая ее точка, включая искомую точку $ M $, также принадлежит плоскости $ \alpha $. Таким образом, точка $ M $ принадлежит одновременно и плоскости $ \alpha $, и плоскости $ \beta $.

Множеством всех общих точек для плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $ является их линия пересечения — прямая $ l $. Следовательно, искомая точка $ M $ должна лежать на прямой $ l $ ($ M \in l $).

Таким образом, мы приходим к выводу, что искомая точка $ M $ является общей точкой для прямых $ a $ и $ l $. Обе эти прямые ($ a $ и $ l $) лежат в одной плоскости $ \alpha $. Из рисунка видно, что они не параллельны, а значит, они пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка и является искомой точкой пересечения прямой $ a $ с плоскостью $ \beta $.

Построение точки пересечения прямой $ a $ с плоскостью $ \beta $
1. Сделайте в тетради рисунок, аналогичный приведенному в условии: изобразите две пересекающиеся плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, их линию пересечения $ l $ и прямую $ a $, лежащую в плоскости $ \alpha $.
2. Продлите прямую $ a $ до пересечения с прямой $ l $.
3. Отметьте точку пересечения прямых $ a $ и $ l $. Обозначьте эту точку буквой $ M $.

Точка $ M $ является искомой точкой пересечения прямой $ a $ с плоскостью $ \beta $, так как она принадлежит прямой $ a $ и одновременно принадлежит прямой $ l $ (а значит, и плоскости $ \beta $).

Ответ: Чтобы построить точку пересечения прямой $ a $ с плоскостью $ \beta $, необходимо найти точку пересечения прямой $ a $ с линией пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $ (прямой $ l $). Для этого нужно продлить прямую $ a $ до ее пересечения с прямой $ l $.