Номер 30, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

30. Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, точка $C$ — плоскости $\beta$, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$ (рис. 13). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте прямые, по которым плоскость $ABC$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Рис. 13

Для решения задачи необходимо построить линии пересечения плоскости $ABC$ с каждой из плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения двух плоскостей — это прямая. Чтобы определить прямую, достаточно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Построение прямой пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$

1. По условию, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$).
2. По определению плоскости $ABC$, точки $A$ и $B$ также принадлежат этой плоскости ($A \in (ABC)$, $B \in (ABC)$).
3. Следовательно, точки $A$ и $B$ являются общими для обеих плоскостей: $A \in (ABC) \cap \alpha$ и $B \in (ABC) \cap \alpha$.
4. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Таким образом, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является линией пересечения плоскостей $ABC$ и $\alpha$.

Ответ: Плоскость $ABC$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$.

Построение прямой пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\beta$

1. Нам нужно найти две точки, принадлежащие одновременно плоскостям $ABC$ и $\beta$.
2. По условию, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$). По определению, точка $C$ также принадлежит плоскости $ABC$ ($C \in (ABC)$). Значит, $C$ — первая общая точка.
3. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямую $AB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ (так как точки $A$ и $B$ лежат в ней) и в плоскости $\alpha$ (по условию).
4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Прямая $a$ принадлежит обеим этим плоскостям.
5. Прямые $AB$ и $a$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Если они не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку как $K$. Таким образом, $K = AB \cap a$.
6. Проанализируем принадлежность точки $K$:
- Поскольку $K \in AB$, а прямая $AB \subset (ABC)$, то точка $K$ принадлежит плоскости $ABC$ ($K \in (ABC)$).
- Поскольку $K \in a$, а прямая $a \subset \beta$, то точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$ ($K \in \beta$).
7. Таким образом, точка $K$ является второй общей точкой для плоскостей $ABC$ и $\beta$.
8. Прямая, проходящая через две общие точки $C$ и $K$, является линией пересечения плоскостей $ABC$ и $\beta$.

Ответ: Плоскость $ABC$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $CK$, где $K$ — точка пересечения прямой $AB$ и прямой $a$.