Номер 23, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

23. Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ выбраны на боковых ребрах призмы (рис. 9). Могут ли принадлежать одной плоскости:

а) все эти точки;

б) все эти точки, но без точки $D$;

в) все эти точки, но без точки $E$?

Ответ обоснуйте.

Рис. 9

а) все эти точки;

Предположим, что все пять точек A, B, C, D и E лежат в одной плоскости $\alpha$.

По условию, точки A и D принадлежат одному и тому же боковому ребру призмы. Обозначим прямую, содержащую это ребро, как $l_1$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой (в нашем случае A и D) лежат в плоскости (в нашем случае $\alpha$), то и вся прямая ($l_1$) лежит в этой плоскости.

Точки B, C и E лежат на трех других боковых ребрах призмы. Обозначим прямые, содержащие эти ребра, как $l_2, l_3, l_4$. По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны между собой, то есть $l_1 \parallel l_2 \parallel l_3 \parallel l_4$.

Рассмотрим плоскость $\alpha$. Она содержит прямую $l_1$. Также она содержит точку B, принадлежащую прямой $l_2$, которая параллельна $l_1$. Если плоскость проходит через данную прямую и точку вне ее, то она может пересечь параллельную прямую только в одной точке. Однако, если плоскость содержит одну из двух параллельных прямых ($l_1$), то для того, чтобы она содержала точку (B) на второй прямой ($l_2$), она должна содержать и всю вторую прямую. Таким образом, плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $l_2$. Аналогично, поскольку $\alpha$ содержит точки C и E, она должна содержать и прямые $l_3$ и $l_4$.

Получается, что все четыре боковых ребра, на которых расположены данные точки, должны лежать в одной плоскости $\alpha$. Но боковые ребра призмы не могут лежать в одной плоскости, так как призма — это объемное тело. Если бы они лежали в одной плоскости, призма была бы "плоской", вырожденной фигурой.

Следовательно, исходное предположение неверно.

Ответ: нет, не могут.

б) все эти точки, но без точки D;

В этом случае мы рассматриваем четыре точки: A, B, C, E, каждая из которых лежит на своем боковом ребре. Эти четыре боковых ребра представляют собой четыре различные параллельные прямые в пространстве.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Выберем точки A, B и C. Поскольку они лежат на трех разных боковых ребрах, которые не копланарны, сами точки также не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость $\beta$.

Любая плоскость, не параллельная боковым ребрам призмы, пересекает их все. Наша плоскость $\beta$ пересечет и четвертое боковое ребро, на котором должна лежать точка E. Обозначим точку их пересечения E'.

По условию, мы можем "выбрать" точки на ребрах. Таким образом, мы можем выбрать положение точки E на ее ребре так, чтобы она совпала с точкой E'. В этом случае все четыре точки A, B, C и E будут лежать в одной плоскости $\beta$.

Такое расположение точек образует плоское сечение призмы, которое в общем случае является четырехугольником. Построение такого сечения всегда возможно.

Ответ: да, могут.

в) все эти точки, но без точки E?

Рассматриваются точки A, B, C, D. Этот случай по своей сути аналогичен пункту а).

Предположим, что точки A, B, C и D лежат в одной плоскости $\gamma$.

Точки A и D лежат на одном боковом ребре. Обозначим прямую, содержащую это ребро, $l_{AD}$. Если точки A и D лежат в плоскости $\gamma$, то и вся прямая $l_{AD}$ лежит в этой плоскости.

Точка B лежит на другом боковом ребре, $l_B$. По свойству призмы, $l_B \parallel l_{AD}$. Если плоскость $\gamma$ содержит прямую $l_{AD}$ и точку B, которая лежит на параллельной прямой $l_B$, то плоскость $\gamma$ обязана содержать и всю прямую $l_B$.

Аналогично, точка C лежит на третьем боковом ребре $l_C$, параллельном $l_{AD}$. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна содержать и прямую $l_C$.

В результате мы приходим к выводу, что три различных боковых ребра призмы ($l_{AD}, l_B, l_C$) должны лежать в одной плоскости $\gamma$. Это возможно только тогда, когда соответствующие им вершины основания призмы лежат на одной прямой. Но три вершины основания призмы (которая является многоугольником, в данном случае четырехугольником) не могут быть коллинеарными для невырожденной призмы.

Таким образом, наше предположение неверно.

Ответ: нет, не могут.