Номер 22, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

22. Каждые две из трех плоскостей пересекаются.
Сколько прямых при этом может получиться?

Пусть даны три плоскости: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, каждые две из них пересекаются. Пересечение двух различных непараллельных плоскостей есть прямая. Таким образом, у нас есть три линии пересечения:

• прямая $a = \alpha \cap \beta$
• прямая $b = \alpha \cap \gamma$
• прямая $c = \beta \cap \gamma$

Задача состоит в том, чтобы определить, сколько различных прямых может получиться в результате. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих трех плоскостей.

Случай 1: Все три плоскости пересекаются по одной общей прямой.

Это происходит, когда все три плоскости принадлежат одному так называемому "пучку плоскостей". Наглядный пример — страницы раскрытой книги, которые все пересекаются по линии переплета. В этом случае все три линии пересечения, которые мы определили выше, совпадают друг с другом: $a = b = c$.
Таким образом, в этом случае получается одна прямая.

Случай 2: Три плоскости не имеют общей прямой.

Если у трех плоскостей нет общей прямой, то все три линии пересечения $a$, $b$ и $c$ будут различными. Здесь, в свою очередь, возможны два варианта:

1. Три плоскости имеют одну общую точку.
   В этом случае все три линии пересечения ($a$, $b$, $c$) проходят через эту единственную общую точку. Простой пример — угол комнаты, где пересекаются две стены и пол. Все три прямые различны. В результате получается три прямые.
2. Три плоскости не имеют ни одной общей точки.
   Такая ситуация возникает, когда линия пересечения двух плоскостей (например, $a = \alpha \cap \beta$) параллельна третьей плоскости ($\gamma$). Тогда линии пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$ (то есть прямые $b$ и $c$) будут параллельны прямой $a$. В результате все три прямые пересечения ($a, b, c$) параллельны друг другу, а значит, различны. Геометрически это можно представить как три плоскости, образующие "палатку" или треугольную призму. В этом случае мы также получаем три прямые.

Таким образом, мы проанализировали все возможные конфигурации и выяснили, что количество прямых, которые могут получиться при пересечении трех плоскостей, может быть либо одна, либо три.

Ответ: 1 или 3.