Номер 26, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

26. Точки $M$, $N$, $K$, $L$ не лежат в одной плоскости, точка $A$ лежит между точками $M$ и $N$ (рис. 10). Определите, пересекаются ли прямые $LA$ и $MK$.

$\alpha$

Рис. 10

Чтобы определить, пересекаются ли прямые $LA$ и $MK$, необходимо выяснить, лежат ли они в одной плоскости и имеют ли общую точку.

1. Рассмотрим плоскость, заданную тремя точками $M, N, K$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Такую плоскость можно провести, поскольку по условию точки $M, N, K, L$ не лежат в одной плоскости, а значит, любые три из них не лежат на одной прямой.

2. Так как точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии вся прямая $MK$ лежит в этой плоскости ($MK \subset \alpha$).

3. По условию, точка $A$ лежит между точками $M$ и $N$. Это значит, что точка $A$ принадлежит прямой $MN$. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $MN$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

4. Теперь рассмотрим прямую $LA$. Она определяется двумя точками: $L$ и $A$. Мы установили, что точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$. Однако точка $L$, согласно условию, не лежит в одной плоскости с точками $M, N, K$, то есть $L \notin \alpha$.

5. Прямая, одна точка которой ($A$) лежит в плоскости, а другая ($L$) — нет, пересекает эту плоскость в одной-единственной точке. В нашем случае прямая $LA$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$.

6. Две прямые могут пересекаться только в общей для них точке. Прямая $MK$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $LA$ имеет с этой плоскостью только одну общую точку — $A$. Следовательно, если прямые $LA$ и $MK$ пересекаются, то их точкой пересечения может быть только точка $A$.

7. Чтобы точка $A$ была точкой пересечения, она должна принадлежать обеим прямым, то есть $A$ должна лежать на прямой $MK$.

8. Мы знаем, что $A$ лежит на прямой $MN$. Если предположить, что $A$ также лежит на прямой $MK$, то $A$ будет точкой пересечения прямых $MN$ и $MK$. Но эти две прямые уже имеют общую точку $M$. Если предположить, что точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой (что следует из рисунка и общего положения точек), то прямые $MN$ и $MK$ могут пересекаться только в одной точке — $M$. В этом случае $A$ должна совпадать с $M$.

9. Однако по условию точка $A$ лежит между точками $M$ и $N$, что исключает возможность совпадения $A$ с $M$ ($A \neq M$).

10. Из этого следует, что наше предположение неверно, и точка $A$ не лежит на прямой $MK$. Поскольку $A$ была единственным кандидатом на роль точки пересечения, а она не принадлежит прямой $MK$, то прямые $LA$ и $MK$ не имеют общих точек.

Прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными (а они не могут быть параллельными, так как не лежат в одной плоскости), называются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $LA$ и $MK$ не пересекаются.