Номер 14, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

14. Найдите боковую поверхность правильной пи-рамиды SABCDEF по данным, указанным на ри-сунке 8.

Рис. 8

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Все боковые ребра пирамиды равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Из рисунка мы видим, что длина бокового ребра равна 6 (например, $SB = 6$), а угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания равен $30°$. Проекцией ребра $SB$ на основание является отрезок $OB$, где $O$ — центр шестиугольника. Таким образом, $∠SBO = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$, где $SO$ — высота пирамиды. Катет $OB$ является радиусом описанной окружности основания. Найдем его, используя косинус угла $∠SBO$:

$OB = SB \cdot \cos(∠SBO) = 6 \cdot \cos(30°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности $R$. Следовательно, сторона основания $a = AB = OB = 3\sqrt{3}$.

Периметр основания $P$ равен:

$P = 6 \cdot a = 6 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$.

Для вычисления площади боковой поверхности нам необходима апофема пирамиды (высота боковой грани) $h_s$. Найдем сначала высоту пирамиды $SO$ из того же прямоугольного треугольника $SOB$:

$SO = SB \cdot \sin(∠SBO) = 6 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Теперь найдем апофему основания $OM$ (отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны $AB$). $OM$ является высотой в равностороннем треугольнике $OAB$ (так как $OA=OB=AB=R$).

$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$.

Апофему пирамиды $h_s = SM$ найдем из прямоугольного треугольника $SOM$ по теореме Пифагора:

$h_s^2 = SO^2 + OM^2 = 3^2 + (\frac{9}{2})^2 = 9 + \frac{81}{4} = \frac{36+81}{4} = \frac{117}{4}$.

$h_s = \sqrt{\frac{117}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 13}}{2} = \frac{3\sqrt{13}}{2}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$. Подставим найденные значения:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{2} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{2} = \frac{27\sqrt{39}}{2}$.

Ответ: $\frac{27\sqrt{39}}{2}$.