Номер 12, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

12. Найдите полную поверхность правильной четырехугольной призмы с диагональю 15 и диагональю основания 12.

Для нахождения полной поверхности правильной четырехугольной призмы воспользуемся формулой:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Нахождение высоты призмы

Диагональ призмы ($D$), диагональ ее основания ($d$) и высота призмы ($h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике диагональ призмы является гипотенузой, а диагональ основания и высота — катетами. Согласно теореме Пифагора:

$D^2 = d^2 + h^2$

Подставим в формулу известные значения: $D = 15$ и $d = 12$.

$15^2 = 12^2 + h^2$

$225 = 144 + h^2$

Отсюда найдем квадрат высоты:

$h^2 = 225 - 144 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9$

Таким образом, высота призмы равна 9.

2. Нахождение площади основания

Основанием правильной четырехугольной призмы является квадрат. Площадь квадрата ($S_{осн}$) можно вычислить через его диагональ ($d$) по формуле:

$S_{осн} = \frac{d^2}{2}$

Подставим значение диагонали основания $d = 12$:

$S_{осн} = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72$

Площадь одного основания призмы равна 72.

3. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Сначала необходимо найти сторону основания ($a$). Так как основание — квадрат с диагональю $d = 12$, его сторона $a$ связана с диагональю соотношением $d = a\sqrt{2}$.

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

Теперь найдем периметр основания:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

Зная периметр основания и высоту призмы, вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 24\sqrt{2} \cdot 9 = 216\sqrt{2}$

4. Нахождение полной поверхности призмы

Теперь, имея площади основания и боковой поверхности, мы можем найти полную поверхность призмы:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot 72 + 216\sqrt{2}$

$S_{полн} = 144 + 216\sqrt{2}$

Ответ: $144 + 216\sqrt{2}$