Номер 6, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

6. В правильной пирамиде $PABCD$ точки $M, N, K, L$ — середины ребер $AB, BC, CP, PA$ соответственно. Найдите длину бокового ребра, учитывая, что ломаная $MBNKPLM$ имеет длину $26$ и $CD = 6$.

По условию, $PABCD$ — правильная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат $ABCD$, а все боковые ребра равны между собой. Обозначим длину бокового ребра через $l$, то есть $PA = PB = PC = PD = l$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат и дано, что $CD = 6$, то все стороны основания равны 6: $AB = BC = CD = DA = 6$.

Точки $M, N, K, L$ являются серединами ребер $AB, BC, CP, PA$ соответственно.

Длина ломаной $MBNKPLM$ представляет собой сумму длин ее составляющих отрезков: $MB + BN + NK + KP + PL + LM$. По условию, эта сумма равна 26.

Вычислим длину каждого отрезка, входящего в ломаную:

1. Точка $M$ — середина ребра $AB$. Длина $AB = 6$, следовательно, $MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

2. Точка $N$ — середина ребра $BC$. Длина $BC = 6$, следовательно, $BN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

3. Рассмотрим треугольник $PBC$. Точки $N$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $PC$. Таким образом, отрезок $NK$ — это средняя линия треугольника $PBC$. Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна ($PB$). Так как $PB = l$, то $NK = \frac{1}{2} PB = \frac{l}{2}$.

4. Точка $K$ — середина бокового ребра $CP$. Следовательно, длина отрезка $KP$ равна половине длины ребра $CP$: $KP = \frac{1}{2} CP = \frac{l}{2}$.

5. Точка $L$ — середина бокового ребра $PA$. Следовательно, длина отрезка $PL$ равна половине длины ребра $PA$: $PL = \frac{1}{2} PA = \frac{l}{2}$.

6. Рассмотрим треугольник $PAB$. Точки $L$ и $M$ являются серединами сторон $PA$ и $AB$. Таким образом, отрезок $LM$ — это средняя линия треугольника $PAB$. Его длина равна половине длины стороны, которой он параллелен ($PB$). Так как $PB = l$, то $LM = \frac{1}{2} PB = \frac{l}{2}$.

Теперь, зная длины всех отрезков, составим уравнение. Сумма их длин равна 26:

$MB + BN + NK + KP + PL + LM = 26$

Подставим найденные выражения для длин отрезков:

$3 + 3 + \frac{l}{2} + \frac{l}{2} + \frac{l}{2} + \frac{l}{2} = 26$

Упростим уравнение:

$6 + 4 \cdot \frac{l}{2} = 26$

$6 + 2l = 26$

Решим уравнение относительно $l$:

$2l = 26 - 6$

$2l = 20$

$l = \frac{20}{2}$

$l = 10$

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна 10.

Ответ: 10.