Номер 9, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

9. Найдите полную поверхность прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ по данным, указанным на рисунке 3.

Рис. 3

Полная поверхность прямой призмы $S_{полн}$ находится как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Таким образом, $S_{полн} = P_{осн} \cdot H + 2S_{осн}$.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Согласно данным на рисунке:

• Сторона основания $AB = 6$ см.
• Угол при вершине A в основании $\angle CAB = 60^\circ$.
• Сторона верхнего основания $A_1C_1 = 4$ см. Так как основания призмы равны, то $AC = A_1C_1 = 4$ см.
• Отметки на сторонах $A_1C_1$ и $C_1B_1$ указывают на их равенство: $A_1C_1 = C_1B_1 = 4$ см. Следовательно, и в нижнем основании $AC = BC = 4$ см.

Таким образом, мы имеем следующие данные для треугольника в основании: стороны $AC = 4$ см, $BC = 4$ см, $AB = 6$ см и угол $\angle CAB = 60^\circ$. Эти данные являются противоречивыми. Проверим по теореме косинусов, каким должен быть угол $\angle CAB$ при заданных сторонах:

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\angle CAB)$

$4^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\angle CAB)$

$16 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos(\angle CAB)$

$48 \cdot \cos(\angle CAB) = 36$

$\cos(\angle CAB) = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$, что не равно $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Предположим, что данные о длинах сторон верны, а указание угла в $60^\circ$ ошибочно. Тогда основание призмы — равнобедренный треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 6 см.

Вычислим периметр основания:

$P_{осн} = 4 + 4 + 6 = 14$ см.

Вычислим площадь основания. Для этого найдем высоту $h$ треугольника, проведенную к стороне $AB$. Так как треугольник равнобедренный, эта высота является и медианой, и делит сторону $AB$ пополам. По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{AC^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ см.

Площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$ см$^2$.

Для вычисления площади полной поверхности необходима высота призмы $H$. В условии задачи высота не указана. Это означает, что задача либо имеет опечатку, либо не имеет однозначного численного решения. Выразим полную поверхность через высоту $H$.

$S_{полн}(H) = P_{осн} \cdot H + 2S_{осн} = 14H + 2(3\sqrt{7}) = 14H + 6\sqrt{7}$ см$^2$.

Если предположить, что в условии пропущено значение высоты и она равна одной из сторон основания (что часто бывает в задачах с опечатками), например $H=6$ см, то можно получить численный ответ.

$S_{полн} = 14 \cdot 6 + 6\sqrt{7} = 84 + 6\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: В условии задачи имеется противоречие в данных и отсутствует значение высоты призмы. Если принять, что основание — треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 6 см, то площадь полной поверхности призмы в зависимости от высоты $H$ равна $14H + 6\sqrt{7}$ см$^2$. При предположении, что $H = 6$ см, ответ: $84 + 6\sqrt{7}$ см$^2$.