Номер 11, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

11. Найдите полную поверхность прямой призмы, учитывая данные, указанные на рисунке 5, и то, что основанием призмы является трапеция.

Рис. 5

Полная поверхность прямой призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Для нахождения этих площадей нам необходимо определить все параметры основания призмы, которым является трапеция. Из рисунка видно, что трапеция равнобедренная. Обозначим ее основания как $a=17$ и $b=7$, а боковую сторону как $c$.

Сначала найдем высоту трапеции ($h_{трап}$). Для этого проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Так как трапеция равнобедренная, они отсекут на большем основании два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна полуразности оснований:$x = \frac{a - b}{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5$.

На рисунке показан угол $30^\circ$ между диагональю трапеции и ее большим основанием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой диагональю, высотой трапеции и частью большего основания. Один из катетов этого треугольника — это высота трапеции $h_{трап}$, а другой катет равен $a - x = 17 - 5 = 12$. Используя тангенс угла $30^\circ$, найдем высоту трапеции:$\text{tg}(30^\circ) = \frac{h_{трап}}{12}$$h_{трап} = 12 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.

Теперь, зная высоту трапеции, можем найти длину ее боковой стороны $c$ по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник с катетами $h_{трап}$ и $x$:$c^2 = x^2 + h_{трап}^2 = 5^2 + (4\sqrt{3})^2 = 25 + 16 \cdot 3 = 25 + 48 = 73$.$c = \sqrt{73}$.

Теперь мы можем вычислить площадь основания ($S_{осн}$):$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{17+7}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{24}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$.

Далее вычислим площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Она равна произведению периметра основания на высоту призмы $H = 5\sqrt{3}$. Найдем периметр основания:$P_{осн} = a + b + 2c = 17 + 7 + 2\sqrt{73} = 24 + 2\sqrt{73}$. Теперь найдем площадь боковой поверхности:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (24 + 2\sqrt{73}) \cdot 5\sqrt{3} = 120\sqrt{3} + 10\sqrt{73 \cdot 3} = 120\sqrt{3} + 10\sqrt{219}$.

Наконец, вычислим полную поверхность призмы ($S_{полн}$):$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = (120\sqrt{3} + 10\sqrt{219}) + 2 \cdot (48\sqrt{3}) = 120\sqrt{3} + 10\sqrt{219} + 96\sqrt{3} = 216\sqrt{3} + 10\sqrt{219}$.

Ответ: $216\sqrt{3} + 10\sqrt{219}$.