Номер 327, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

327. Сечение правильной треугольной призмы проходит через ребро основания длиной 12 см и имеет площадь 72 $ \text{см}^2 $. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 12$ см. Сечение проходит через ребро основания, например $AB$, и пересекает противоположное боковое ребро $CC_1$ в точке $D$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $ABD$. Площадь этого сечения по условию равна $S_{ABD} = 72$ см².

Угол между плоскостью сечения $(ABD)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей является ребро $AB$. Для нахождения этого угла построим перпендикуляры к линии пересечения $AB$ из одной точки в обеих плоскостях.

1. В плоскости основания $(ABC)$ проведем высоту (она же медиана) $CM$ к стороне $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $CM \perp AB$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$CM = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

2. В плоскости сечения $(ABD)$ рассмотрим треугольник $ABD$. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ являются прямоугольными (углы $\angle ACD$ и $\angle BCD$ прямые). Они равны по двум катетам ($AC=BC=12$ см как стороны основания, $CD$ — общий катет). Следовательно, их гипотенузы равны: $AD=BD$. Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным. Его медиана $DM$ к основанию $AB$ также является и высотой, то есть $DM \perp AB$.

3. Длину высоты $DM$ найдем из формулы площади треугольника $ABD$:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DM$
$72 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot DM$
$72 = 6 \cdot DM$
$DM = \frac{72}{6} = 12$ см.

4. Искомый угол между плоскостями $(ABD)$ и $(ABC)$ равен углу $\alpha = \angle CMD$ между перпендикулярами $DM$ и $CM$. Рассмотрим треугольник $CMD$. Так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то отрезок $CD$ (часть ребра) также перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$. Значит, $CD \perp CM$. Следовательно, треугольник $CMD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике мы знаем катет $CM = 6\sqrt{3}$ см и гипотенузу $DM = 12$ см.

Косинус угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\alpha) = \frac{CM}{DM} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим значение угла:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Другой способ решения основан на теореме о площади ортогональной проекции. Проекцией сечения $ABD$ на плоскость основания $ABC$ является сам треугольник $ABC$. Площадь проекции $S_{пр}$ связана с площадью сечения $S_{сеч}$ и углом $\alpha$ между плоскостями формулой $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$.
Площадь основания (проекции): $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².
Тогда $\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S_{сеч}} = \frac{36\sqrt{3}}{72} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что также дает $\alpha=30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.