Номер 340, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

340. В прямом параллелепипеде ребра основания равны 21 см и 29 см, а одна из диагоналей основания — 20 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, учитывая, что его меньшая диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Пусть основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 21$ см и $b = 29$ см. Обозначим диагонали основания как $d_1$ и $d_2$.

1. Нахождение диагоналей основания.

Свойство диагоналей параллелограмма гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

По условию, одна из диагоналей основания равна 20 см. Пусть $d_1 = 20$ см. Найдем вторую диагональ $d_2$:

$20^2 + d_2^2 = 2(21^2 + 29^2)$

$400 + d_2^2 = 2(441 + 841)$

$400 + d_2^2 = 2 \cdot 1282$

$400 + d_2^2 = 2564$

$d_2^2 = 2564 - 400$

$d_2^2 = 2164$

Теперь сравним квадраты диагоналей: $d_1^2 = 400$ и $d_2^2 = 2164$. Так как $400 < 2164$, то $d_1 < d_2$.

Следовательно, меньшая диагональ основания $d_{min} = 20$ см, а большая диагональ основания $d_{max} = \sqrt{2164}$ см.

2. Нахождение высоты параллелепипеда.

Пусть $h$ — высота прямого параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда ($D_{min}$), ее проекция на основание ($d_{min}$) и высота ($h$) образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией. По условию, этот угол равен $60^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является противолежащим катетом к углу $60^\circ$, а $d_{min}$ — прилежащим.

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d_{min}}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = d_{min} \cdot \tan(60^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Нахождение большей диагонали параллелепипеда.

Большая диагональ параллелепипеда ($D_{max}$), ее проекция ($d_{max}$) и высота ($h$) также образуют прямоугольный треугольник. Применим теорему Пифагора:

$D_{max}^2 = d_{max}^2 + h^2$

Подставим известные значения $d_{max}^2 = 2164$ и $h = 20\sqrt{3}$:

$D_{max}^2 = 2164 + (20\sqrt{3})^2$

$D_{max}^2 = 2164 + 400 \cdot 3$

$D_{max}^2 = 2164 + 1200$

$D_{max}^2 = 3364$

Теперь найдем длину большей диагонали:

$D_{max} = \sqrt{3364} = 58$ см.

Ответ: 58 см.