Номер 344, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

344. В треугольной призме расстояния между боковыми ребрами пропорциональны числам 26, 25, 3, площади перпендикулярного сечения и меньшей боковой грани равны $144 \text{ см}^2$ каждая. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана треугольная призма. Расстояния между ее боковыми ребрами являются сторонами перпендикулярного сечения этой призмы. Обозначим стороны этого сечения (которое является треугольником) как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, эти стороны пропорциональны числам 26, 25 и 3. Следовательно, мы можем их выразить через коэффициент пропорциональности $k$:$a = 26k$, $b = 25k$, $c = 3k$.

Площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$ задана и равна 144 см². Для вычисления площади треугольника по его сторонам используем формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала найдем полупериметр перпендикулярного сечения:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26k+25k+3k}{2} = \frac{54k}{2} = 27k$.

Теперь подставим известные величины в формулу Герона:$S_{перп} = \sqrt{27k(27k-26k)(27k-25k)(27k-3k)} = \sqrt{27k \cdot k \cdot 2k \cdot 24k} = \sqrt{1296k^4} = 36k^2$.

Зная, что $S_{перп} = 144$, составим и решим уравнение:$36k^2 = 144$$k^2 = \frac{144}{36} = 4$Так как длина стороны не может быть отрицательной, $k=2$.

Теперь мы можем определить точные длины сторон перпендикулярного сечения:$a = 26k = 26 \cdot 2 = 52$ см$b = 25k = 25 \cdot 2 = 50$ см$c = 3k = 3 \cdot 2 = 6$ см

Площадь боковой грани призмы равна произведению длины соответствующей стороны перпендикулярного сечения на длину бокового ребра призмы, которую обозначим как $L$. Меньшей боковой грани соответствует наименьшая сторона перпендикулярного сечения, то есть $c = 6$ см.

По условию, площадь меньшей боковой грани $S_{меньш}$ также равна 144 см².$S_{меньш} = c \cdot L$$144 = 6 \cdot L$$L = \frac{144}{6} = 24$ см.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{перп} \cdot L$, где $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения.

Вычислим периметр перпендикулярного сечения:$P_{перп} = a+b+c = 52+50+6 = 108$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{перп} \cdot L = 108 \cdot 24 = 2592$ см².

Ответ: 2592 см².