Номер 345, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

345. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ ребра основания $AB$ и $AC$ равны по 30 см, $BC - 36$ см, вершина $A_1$ равноудалена от вершин $A, B, C$ и $AA_1 = 39$ см (рис. 125). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Рис. 125

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = AC = 30$ см и $BC = 36$ см.
Проведем высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. По теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$ см.
Теперь найдем площадь основания (треугольника $ABC$):
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 24 = 18 \cdot 24 = 432$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ACC_1A_1} + S_{BCC_1B_1}$.
По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин $A, B, C$, и боковое ребро $AA_1 = 39$ см. Это означает, что $A_1A = A_1B = A_1C = 39$ см.

Площадь грани $ABB_1A_1$
Грань $ABB_1A_1$ — это параллелограмм со сторонами $AB = 30$ см и $AA_1 = 39$ см. Диагональ этого параллелограмма $A_1B$ равна 39 см. Площадь параллелограмма можно найти через его стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$.
Найдем синус угла $\angle A_1AB$ из треугольника $A_1AB$ по теореме косинусов. Стороны треугольника: $A_1A=39$, $AB=30$, $A_1B=39$.
$A_1B^2 = A_1A^2 + AB^2 - 2 \cdot A_1A \cdot AB \cdot \cos(\angle A_1AB)$
$39^2 = 39^2 + 30^2 - 2 \cdot 39 \cdot 30 \cdot \cos(\angle A_1AB)$
$0 = 900 - 2340 \cdot \cos(\angle A_1AB)$
$\cos(\angle A_1AB) = \frac{900}{2340} = \frac{90}{234} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$.
Теперь найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin(\angle A_1AB) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle A_1AB)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Площадь грани $ABB_1A_1$:
$S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AB) = 30 \cdot 39 \cdot \frac{12}{13} = 30 \cdot 3 \cdot 12 = 1080$ см².

Площадь грани $ACC_1A_1$
Грань $ACC_1A_1$ — это параллелограмм со сторонами $AC = 30$ см и $AA_1 = 39$ см. Его диагональ $A_1C = 39$ см. Эта грань имеет такие же размеры, как и грань $ABB_1A_1$, поэтому ее площадь также равна 1080 см².
$S_{ACC_1A_1} = 1080$ см².

Площадь грани $BCC_1B_1$
Грань $BCC_1B_1$ — это параллелограмм со сторонами $BC = 36$ см и $BB_1 = AA_1 = 39$ см. Докажем, что эта грань является прямоугольником. Проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$ — это точка $O$, которая является центром описанной окружности треугольника $ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ центр описанной окружности лежит на высоте (и медиане) $AM$.
Прямая $BC$ перпендикулярна медиане $AM$. Также, прямая $BC$ перпендикулярна высоте призмы $A_1O$ (так как $A_1O$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$).
Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AM$ и $A_1O$) в плоскости $A_1AM$, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Боковое ребро $AA_1$ лежит в плоскости $A_1AM$ (так как точки $A, O, A_1$ лежат в этой плоскости). Следовательно, $BC \perp AA_1$.
Так как боковые ребра призмы параллельны ($BB_1 \parallel AA_1$), то $BC \perp BB_1$. Таким образом, параллелограмм $BCC_1B_1$ является прямоугольником.
Площадь грани $BCC_1B_1$:
$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot BB_1 = 36 \cdot 39 = 1404$ см².

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 1080 + 1080 + 1404 = 3564$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности призмы
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 3564 + 2 \cdot 432 = 3564 + 864 = 4428$ см².

Ответ: $4428$ см².