Номер 488, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

488. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной $2a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, а две другие образуют с этой плоскостью углы $\alpha$. Найдите полную поверхность пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, в основании которой лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $AB = BC = AC = 2a$. Одна из боковых граней, пусть это будет грань $SAB$, перпендикулярна плоскости основания. Две другие боковые грани, $SAC$ и $SBC$, образуют с плоскостью основания углы, равные $\alpha$.

Так как грань $(SAB)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то высота пирамиды $SH$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $(SAB)$ и перпендикулярна линии пересечения плоскостей, то есть $SH \perp AB$. Таким образом, точка $H$ — основание высоты пирамиды — лежит на стороне $AB$ основания.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Для грани $SAC$ и основания $ABC$ ребром является $AC$. Построим линейный угол: из точки $H$ опустим перпендикуляр $HK$ на $AC$ ($HK \perp AC$). По теореме о трёх перпендикулярах, наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $AC$ ($SK \perp AC$). Следовательно, угол $\angle SKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$, и по условию $\angle SKH = \alpha$. Аналогично, для грани $SBC$ и основания $ABC$ ребром является $BC$. Опустим перпендикуляр $HM$ на $BC$ ($HM \perp BC$). Тогда наклонная $SM \perp BC$, и $\angle SMH = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHK$ и $\triangle SHM$. У них общий катет $SH$. Из определения тангенса угла имеем:$SH = HK \cdot \tan(\alpha)$$SH = HM \cdot \tan(\alpha)$Отсюда следует, что $HK = HM$. Это означает, что точка $H$ на прямой $AB$ равноудалена от прямых $AC$ и $BC$. Геометрическим местом таких точек является биссектриса угла $\angle ACB$. В правильном треугольнике $ABC$ биссектриса угла $C$ является также медианой и высотой. Так как точка $H$ лежит на стороне $AB$, она является точкой пересечения этой медианы со стороной $AB$, то есть $H$ — середина $AB$. Следовательно, $AH = HB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(2a) = a$.

1. Найдём площадь основания

Основанием является правильный треугольник со стороной $2a$. Его площадь $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

2. Найдём площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трёх боковых граней: $S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAC} + S_{SBC}$.

Сначала найдём высоту пирамиды $SH$. Для этого вычислим длину отрезка $HM$. В треугольнике $ABC$ угол $\angle B = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle HMB$ (построенном так, что $HM \perp BC$):$HM = HB \cdot \sin(\angle B) = a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SHM$ найдём высоту пирамиды $SH$:$SH = HM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$.

Теперь можем найти площади боковых граней.

Площадь грани $SAB$: основание $AB=2a$, высота $SH$.$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$.

Площади граней $SAC$ и $SBC$. Эти грани равны, так как они наклонены к основанию под одинаковым углом, а их основания ($AC$ и $BC$) равны. Найдём площадь грани $SBC$. Основание $BC=2a$, высота (апофема) $SM$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SHM$:$SM = \frac{HM}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}/2}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{2\cos(\alpha)}$.$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2\cos(\alpha)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2\cos(\alpha)}$.

Так как $S_{SAC} = S_{SBC}$, то их суммарная площадь равна $2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2\cos(\alpha)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{\cos(\alpha)}$.

Площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAC} + S_{SBC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha) + \frac{a^2\sqrt{3}}{\cos(\alpha)}$.

3. Найдём полную поверхность пирамиды

Полная поверхность $S_{полн}$ — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2\sqrt{3} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha) + \frac{a^2\sqrt{3}}{\cos(\alpha)}$.

Вынесем общий множитель $a^2\sqrt{3}$ за скобки:

$S_{полн} = a^2\sqrt{3} \left(1 + \frac{1}{2}\tan(\alpha) + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$.

Ответ: $S_{полн} = a^2\sqrt{3} \left(1 + \frac{1}{2}\tan(\alpha) + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$