Номер 495, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

495. Стороны оснований усеченной пирамиды относятся как $7 : 19$ (рис. 167). Определите, в каком отношении боковую поверхность пирамиды разделяет плоскость, которая проходит через середину высоты и параллельна основаниям.

Рис. 167

Пусть усеченная пирамида имеет основания, являющиеся подобными многоугольниками. Обозначим стороны меньшего (верхнего) основания через $a_1$, а стороны большего (нижнего) основания через $a_2$. По условию, их отношение равно:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{19}$

Поскольку периметры оснований ($P_1$ и $P_2$) прямо пропорциональны их сторонам, то отношение периметров также равно:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{7}{19}$

Плоскость, проходящая через середину высоты усеченной пирамиды и параллельная ее основаниям, пересекает пирамиду по многоугольнику, подобному основаниям. Обозначим сторону этого среднего сечения через $a_m$, а его периметр через $P_m$.

Рассмотрим боковую грань усеченной пирамиды, которая является трапецией. Линия пересечения этой грани с секущей плоскостью будет являться средней линией данной трапеции, так как плоскость проходит через середину высоты. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Следовательно, сторона среднего сечения $a_m$ является средним арифметическим сторон оснований $a_1$ и $a_2$:
$a_m = \frac{a_1 + a_2}{2}$

Аналогично, периметр среднего сечения $P_m$ будет средним арифметическим периметров оснований $P_1$ и $P_2$:
$P_m = \frac{P_1 + P_2}{2}$

Секущая плоскость делит усеченную пирамиду на две меньшие усеченные пирамиды. Высота и, следовательно, апофема (высота боковой грани) исходной усеченной пирамиды делятся этой плоскостью пополам. Пусть апофема исходной усеченной пирамиды равна $h_a$. Тогда апофемы верхней и нижней частей, на которые она разделена, будут равны $\frac{h_a}{2}$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{P_{верх} + P_{ниж}}{2} \cdot h_a$, где $P_{верх}$ и $P_{ниж}$ - периметры оснований.

Найдем площадь боковой поверхности верхней части ($S_{верх}$), у которой основания имеют периметры $P_1$ и $P_m$, а апофема равна $\frac{h_a}{2}$:
$S_{верх} = \frac{P_1 + P_m}{2} \cdot \frac{h_a}{2}$

Найдем площадь боковой поверхности нижней части ($S_{низ}$), у которой основания имеют периметры $P_m$ и $P_2$, а апофема также равна $\frac{h_a}{2}$:
$S_{низ} = \frac{P_m + P_2}{2} \cdot \frac{h_a}{2}$

Теперь найдем отношение этих площадей:
$\frac{S_{верх}}{S_{низ}} = \frac{\frac{P_1 + P_m}{2} \cdot \frac{h_a}{2}}{\frac{P_m + P_2}{2} \cdot \frac{h_a}{2}} = \frac{P_1 + P_m}{P_m + P_2}$

Подставим в это выражение $P_m = \frac{P_1 + P_2}{2}$:
$\frac{S_{верх}}{S_{низ}} = \frac{P_1 + \frac{P_1 + P_2}{2}}{\frac{P_1 + P_2}{2} + P_2} = \frac{\frac{2P_1 + P_1 + P_2}{2}}{\frac{P_1 + P_2 + 2P_2}{2}} = \frac{3P_1 + P_2}{P_1 + 3P_2}$

Используем заданное соотношение $P_1:P_2 = 7:19$. Пусть $P_1 = 7k$ и $P_2 = 19k$ для некоторого коэффициента $k$. Подставим эти значения:
$\frac{S_{верх}}{S_{низ}} = \frac{3(7k) + 19k}{7k + 3(19k)} = \frac{21k + 19k}{7k + 57k} = \frac{40k}{64k} = \frac{40}{64}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{40}{64} = \frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{5}{8}$

Таким образом, плоскость делит боковую поверхность пирамиды в отношении 5 к 8, считая от меньшего основания.

Ответ: 5 : 8