Номер 502, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

502. Через точку пересечения диагоналей правильной четырехугольной усеченной пирамиды проведено сечение, параллельное основаниям пирамиды (рис. 169). Найдите объемы полученных частей, учитывая, что высота пирамиды равна 18 см, а ребра оснований — 6 см и 12 см.

6 см

18 см

12 см

Рис. 169

Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Обозначим ее параметры:

• Высота $H = 18$ см.
• Сторона нижнего основания $a_1 = 12$ см.
• Сторона верхнего основания $a_2 = 6$ см.

Площади оснований соответственно равны:$S_1 = a_1^2 = 12^2 = 144$ см².$S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ см².

Сечение, параллельное основаниям, делит пирамиду на две части. Найдем сначала положение этого сечения, а затем объемы полученных частей.

1. Определение положения секущей плоскости и размеров сечения.

Секущая плоскость проходит через точку пересечения диагоналей усеченной пирамиды. Эта точка лежит на высоте пирамиды. Чтобы найти ее положение, рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $a_1 = 12$ см, $a_2 = 6$ см и высотой $H = 18$ см. Точка пересечения диагоналей этой трапеции делит ее высоту на два отрезка, $h_1$ (прилегающий к большему основанию) и $h_2$ (прилегающий к меньшему основанию), отношение которых равно отношению оснований трапеции:$\frac{h_1}{h_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{12}{6} = 2$.

Мы знаем, что $h_1 + h_2 = H = 18$ см. Решим систему уравнений:$h_1 = 2h_2$$2h_2 + h_2 = 18 \Rightarrow 3h_2 = 18 \Rightarrow h_2 = 6$ см. Отсюда $h_1 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, исходная усеченная пирамида разделена на две меньшие усеченные пирамиды: нижнюю с высотой $h_1 = 12$ см и верхнюю с высотой $h_2 = 6$ см.

Теперь найдем сторону $a_3$ квадратного сечения. Из подобия треугольников в осевом сечении следует, что сторона изменяется линейно с высотой. Можно воспользоваться свойством подобных треугольников или формулой для стороны сечения в трапеции:$\frac{a_1 - a_3}{h_1} = \frac{a_3 - a_2}{h_2}$$\frac{12 - a_3}{12} = \frac{a_3 - 6}{6}$$6(12 - a_3) = 12(a_3 - 6)$$72 - 6a_3 = 12a_3 - 72$$144 = 18a_3$$a_3 = \frac{144}{18} = 8$ см.

Площадь сечения $S_3 = a_3^2 = 8^2 = 64$ см².

2. Вычисление объемов полученных частей.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_{нижн} + \sqrt{S_{нижн}S_{верхн}} + S_{верхн})$.

Объем нижней части ($V_1$):Высота $h_1 = 12$ см, площади оснований $S_1 = 144$ см² и $S_3 = 64$ см².$V_1 = \frac{1}{3}h_1(S_1 + \sqrt{S_1S_3} + S_3) = \frac{1}{3} \cdot 12(144 + \sqrt{144 \cdot 64} + 64)$$V_1 = 4(144 + 12 \cdot 8 + 64) = 4(144 + 96 + 64) = 4 \cdot 304 = 1216$ см³.

Объем верхней части ($V_2$):Высота $h_2 = 6$ см, площади оснований $S_3 = 64$ см² и $S_2 = 36$ см².$V_2 = \frac{1}{3}h_2(S_3 + \sqrt{S_3S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot 6(64 + \sqrt{64 \cdot 36} + 36)$$V_2 = 2(64 + 8 \cdot 6 + 36) = 2(64 + 48 + 36) = 2 \cdot 148 = 296$ см³.

Ответ: Объемы полученных частей равны 1216 см³ и 296 см³.