Номер 504, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

504. В правильной усеченной пирамиде периметр боковой грани равен 176 см, апофема — 24 см (рис. 170). Найдите стороны оснований, учитывая, что высота усеченной пирамиды составляет $\frac{1}{5}$ высоты соответствующей полной пирамиды.

Рис. 170

Обозначим стороны оснований усеченной пирамиды через $a$ (сторона большего основания) и $b$ (сторона меньшего основания). Боковая грань правильной усеченной пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой являются стороны $a$ и $b$, а высота равна апофеме усеченной пирамиды, то есть $l = 24$ см. Обозначим боковое ребро (боковую сторону трапеции) через $c$.

Периметр боковой грани (трапеции) задан и равен 176 см:

$P_{б.г.} = a + b + 2c = 176$

Усеченная пирамида получается из полной пирамиды путем отсечения от нее меньшей пирамиды, подобной полной. Пусть высота полной пирамиды равна $H$, а высота усеченной пирамиды равна $h_{ус}$. По условию, $h_{ус} = \frac{1}{5}H$. Высота отсеченной малой пирамиды будет равна $h_{мал} = H - h_{ус} = H - \frac{1}{5}H = \frac{4}{5}H$.

Коэффициент подобия малой пирамиды к полной равен отношению их высот:

$k = \frac{h_{мал}}{H} = \frac{\frac{4}{5}H}{H} = \frac{4}{5}$

Отношение сторон оснований этих пирамид также равно коэффициенту подобия:

$\frac{b}{a} = k = \frac{4}{5} \implies b = \frac{4}{5}a$

Теперь рассмотрим боковую грань (равнобедренную трапецию) с основаниями $a$ и $b$, высотой $l=24$ и боковыми сторонами $c$. Связь между этими величинами можно найти с помощью теоремы Пифагора. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$, одним катетом $l$ и другим катетом, равным $\frac{a-b}{2}$.

$c^2 = l^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Подставим известные соотношения, чтобы выразить все через $a$:

$\frac{a-b}{2} = \frac{a - \frac{4}{5}a}{2} = \frac{\frac{1}{5}a}{2} = \frac{a}{10}$

Теперь выразим боковое ребро $c$ через $a$:

$c = \sqrt{l^2 + \left(\frac{a}{10}\right)^2} = \sqrt{24^2 + \frac{a^2}{100}} = \sqrt{576 + \frac{a^2}{100}}$

Подставим выражения для $b$ и $c$ в формулу периметра:

$a + \frac{4}{5}a + 2\sqrt{576 + \frac{a^2}{100}} = 176$

Решим это уравнение относительно $a$:

$\frac{9}{5}a + 2\sqrt{576 + \frac{a^2}{100}} = 176$

$2\sqrt{576 + \frac{a^2}{100}} = 176 - \frac{9}{5}a$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4\left(576 + \frac{a^2}{100}\right) = \left(176 - \frac{9}{5}a\right)^2$

$2304 + \frac{4a^2}{100} = 176^2 - 2 \cdot 176 \cdot \frac{9}{5}a + \left(\frac{9}{5}a\right)^2$

$2304 + \frac{a^2}{25} = 30976 - \frac{3168}{5}a + \frac{81a^2}{25}$

Приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение:

$\frac{81a^2}{25} - \frac{a^2}{25} - \frac{3168}{5}a + 30976 - 2304 = 0$

$\frac{80a^2}{25} - \frac{3168}{5}a + 28672 = 0$

$\frac{16a^2}{5} - \frac{3168}{5}a + 28672 = 0$

Умножим все уравнение на 5:

$16a^2 - 3168a + 143360 = 0$

Разделим все уравнение на 16 для упрощения:

$a^2 - 198a + 8960 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D$:

$D = (-198)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8960 = 39204 - 35840 = 3364 = 58^2$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{198 + 58}{2} = \frac{256}{2} = 128$

$a_2 = \frac{198 - 58}{2} = \frac{140}{2} = 70$

При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Проверим условие неотрицательности правой части уравнения $176 - \frac{9}{5}a \ge 0$:

$176 \ge \frac{9}{5}a \implies a \le \frac{176 \cdot 5}{9} \implies a \le \frac{880}{9} \approx 97.78$

Корень $a_1 = 128$ не удовлетворяет этому условию ($128 > 97.78$), следовательно, он является посторонним.

Корень $a_2 = 70$ удовлетворяет условию ($70 < 97.78$), значит, это и есть сторона большего основания.

$a = 70$ см.

Теперь найдем сторону меньшего основания $b$:

$b = \frac{4}{5}a = \frac{4}{5} \cdot 70 = 4 \cdot 14 = 56$ см.

Таким образом, стороны оснований равны 70 см и 56 см.

Ответ: стороны оснований равны 70 см и 56 см.