Номер 497, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

497. Числа $S_1$, $S_2$ и $Q$ задают соответственно площади оснований и боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Найдите площадь диагонального сечения.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, где $a_1$ — сторона большего основания, а $a_2$ — сторона меньшего. Поскольку основаниями являются квадраты, их площади $S_1$ и $S_2$ связаны со сторонами следующими соотношениями:

$S_1 = a_1^2 \implies a_1 = \sqrt{S_1}$

$S_2 = a_2^2 \implies a_2 = \sqrt{S_2}$

Диагонали оснований, $d_1$ и $d_2$, равны:

$d_1 = a_1\sqrt{2} = \sqrt{2S_1}$

$d_2 = a_2\sqrt{2} = \sqrt{2S_2}$

Диагональное сечение усеченной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды $d_1$ и $d_2$, а высотой — высота пирамиды $h$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2}h = \frac{\sqrt{2S_1} + \sqrt{2S_2}}{2}h = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})}{2}h$

Для нахождения $S_{сеч}$ необходимо выразить высоту пирамиды $h$ через заданные величины.

Площадь боковой поверхности $Q$ состоит из четырех одинаковых равнобоких трапеций. Основания каждой такой трапеции равны $a_1$ и $a_2$, а высота — апофема усеченной пирамиды $h_a$.

$Q = 4 \cdot \frac{a_1+a_2}{2} \cdot h_a = 2(a_1+a_2)h_a = 2(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})h_a$

Отсюда можно выразить апофему:

$h_a = \frac{Q}{2(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}$

Свяжем высоту пирамиды $h$ с апофемой $h_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, отрезком, соединяющим центры оснований, проекциями апофемы на плоскости оснований. Катетами этого треугольника будут высота $h$ и отрезок, равный полуразности длин отрезков, соединяющих центр основания с серединой его стороны, то есть $\frac{a_1/2 - a_2/2}{1} = \frac{a_1 - a_2}{2}$. Гипотенузой будет апофема $h_a$.

По теореме Пифагора:

$h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

Отсюда выразим $h^2$:

$h^2 = h_a^2 - \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

Подставим выражения для $h_a$, $a_1$ и $a_2$:

$h^2 = \left(\frac{Q}{2(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}}{2}\right)^2$

$h^2 = \frac{Q^2}{4(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2} - \frac{(\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2})^2}{4}$

Приведем к общему знаменателю:

$h^2 = \frac{Q^2 - (\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2})^2 (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}$

Используя формулу разности квадратов $(\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2})(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}) = S_1 - S_2$, получаем:

$h^2 = \frac{Q^2 - (S_1 - S_2)^2}{4(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}$

Извлекая квадратный корень, находим высоту $h$:

$h = \frac{\sqrt{Q^2 - (S_1 - S_2)^2}}{2(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})}$

Теперь подставим найденное выражение для $h$ в формулу площади диагонального сечения:

$S_{сеч} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{Q^2 - (S_1 - S_2)^2}}{2(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})}$

Сократим множитель $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})$ в числителе и знаменателе:

$S_{сеч} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{Q^2 - (S_1 - S_2)^2}}{4}$

Ответ: $S_{сеч} = \frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{Q^2 - (S_1 - S_2)^2}$