Номер 491, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

491. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 1 см. Найдите боковую и полную поверхности пирамиды.

Боковая поверхность

1. В основании пирамиды лежит ромб с диагоналями $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, они образуют четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Сторона ромба $a$ является гипотенузой в этих треугольниках. Найдем ее по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ см.

3. Поскольку высота пирамиды $H$ проходит через точку пересечения диагоналей основания (центр ромба), данная пирамида является прямой. Ее боковые грани — равные треугольники. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P h_a$, где $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

4. Чтобы найти апофему, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=1$ см, апофемой $h_a$ (гипотенуза) и перпендикуляром $r$, опущенным из центра ромба на его сторону (катет). Длину этого перпендикуляра $r$ можно найти через площадь ромба. Площадь ромба $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Также площадь ромба можно представить как сумму площадей четырех треугольников с вершиной в центре. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} a r$. Тогда $S_{осн} = 4 \cdot (\frac{1}{2} a r) = 2ar$. Отсюда:

$r = \frac{S_{осн}}{2a} = \frac{24}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2.4$ см.

5. Теперь найдем апофему $h_a$ по теореме Пифагора:

$h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{1^2 + (2.4)^2} = \sqrt{1 + 5.76} = \sqrt{6.76} = 2.6$ см.

6. Вычисляем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 2.6 = 10 \cdot 2.6 = 26$ см².

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 26 см².

Полная поверхность

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Мы уже вычислили обе эти величины:

$S_{осн} = 24$ см²

$S_{бок} = 26$ см²

Следовательно, площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = 24 + 26 = 50$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 50 см².