Номер 489, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

489. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 35 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что все двугранные углы при основании пирамиды равны по $45^\circ$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 12$ см и $b = 35$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 6 \cdot 35 = 210$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при основании пирамиды равны $45^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ (как катетами) и апофемой боковой грани (как гипотенузой). Угол между радиусом $r$ и апофемой является линейным углом двугранного угла и равен $45^\circ$.

Из этого треугольника следует, что $H = r \cdot \tan(45^\circ)$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то высота пирамиды численно равна радиусу вписанной в основание окружности: $H = r$.

Чтобы найти радиус $r$, сначала вычислим гипотенузу $c$ треугольника в основании по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$ см.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{12 + 35 - 37}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Следовательно, высота пирамиды $H = r = 5$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 5 = 70 \cdot 5 = 350$ см³.

Ответ: $350$ см³.