Номер 492, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

492. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды, у которой один из двугранных углов прямой, равна $S$. Плоскость, параллельная основанию, разделяет апофему пополам. Найдите боковую поверхность полученной усеченной пирамиды.

Пусть $S_{исх}$ — боковая поверхность исходной правильной треугольной пирамиды. По условию задачи $S_{исх} = S$.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Оставшаяся часть является усеченной пирамидой.

Коэффициент подобия $k$ отсеченной (меньшей) пирамиды к исходной (большей) равен отношению их соответствующих линейных размеров. По условию, секущая плоскость делит апофему исходной пирамиды пополам. Апофема — это высота боковой грани. Таким образом, апофема меньшей пирамиды в два раза меньше апофемы исходной пирамиды.

Следовательно, коэффициент подобия равен:$k = \frac{1}{2}$

Отношение площадей боковых поверхностей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S_{отсеч}$ — площадь боковой поверхности меньшей пирамиды, тогда:$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = k^2$

Отсюда можем найти площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды:$S_{отсеч} = S_{исх} \cdot k^2 = S \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{S}{4}$

Боковая поверхность полученной усеченной пирамиды, $S_{усеч}$, равна разности площадей боковых поверхностей исходной и отсеченной пирамид:$S_{усеч} = S_{исх} - S_{отсеч} = S - \frac{S}{4} = \frac{3S}{4}$

Информация о прямом двугранном угле в условии является избыточной для решения данной задачи, так как результат зависит только от свойства подобия пирамид.

Ответ: $\frac{3S}{4}$