Номер 498, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

498. В правильной треугольной усеченной пирамиде боковые ребра попарно перпендикулярны, стороны оснований равны $a$ и $b$ (рис. 168). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Рис. 168

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ складывается из площадей двух оснований ($S_{нижн}$ и $S_{верхн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок}$

1. Нахождение площадей оснований

Основаниями правильной треугольной усеченной пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники со сторонами $a$ и $b$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.

Площадь нижнего основания: $S_{нижн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Площадь верхнего основания: $S_{верхн} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Нахождение площади боковой поверхности

Для нахождения площади боковой поверхности достроим усеченную пирамиду до полной пирамиды с вершиной $S$. По условию, боковые ребра полной пирамиды попарно перпендикулярны. Это означает, что боковые грани полной пирамиды являются прямоугольными равнобедренными треугольниками с прямым углом при вершине $S$.

Рассмотрим большую (полную) пирамиду. Ее основание — равносторонний треугольник со стороной $a$. Пусть ее боковое ребро равно $L$. Тогда сторона основания $a$ является гипотенузой в равнобедренном прямоугольном треугольнике, катетами которого являются боковые ребра $L$. По теореме Пифагора:

$L^2 + L^2 = a^2 \implies 2L^2 = a^2 \implies L^2 = \frac{a^2}{2}$

Площадь одной боковой грани большой пирамиды равна $S_{грани.большой} = \frac{1}{2} L \cdot L = \frac{1}{2} L^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Так как боковых граней три, площадь боковой поверхности большой пирамиды: $S_{бок.большой} = 3 \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.

Аналогично для малой пирамиды (которую мы "отсекли" сверху), ее основание — равносторонний треугольник со стороной $b$. Пусть ее боковое ребро равно $L'$. Тогда:

$(L')^2 + (L')^2 = b^2 \implies 2(L')^2 = b^2 \implies (L')^2 = \frac{b^2}{2}$

Площадь боковой поверхности малой пирамиды: $S_{бок.малой} = 3 \cdot \frac{1}{2} (L')^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{2} = \frac{3b^2}{4}$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна разности площадей боковых поверхностей большой и малой пирамид:

$S_{бок} = S_{бок.большой} - S_{бок.малой} = \frac{3a^2}{4} - \frac{3b^2}{4} = \frac{3(a^2 - b^2)}{4}$

3. Нахождение площади полной поверхности

Теперь сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{3(a^2 - b^2)}{4}$

Сгруппируем слагаемые, вынеся общий знаменатель 4:

$S_{полн} = \frac{a^2 \sqrt{3} + b^2 \sqrt{3} + 3a^2 - 3b^2}{4} = \frac{\sqrt{3}(a^2 + b^2) + 3(a^2 - b^2)}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}(a^2 + b^2) + 3(a^2 - b^2)}{4}$