Номер 503, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

503. Чугунный постамент в форме правильной усеченной четырехугольной пирамиды имеет высоту 15 дм, а стороны основания — 30 дм и 20 дм. Найдите массу постамента, учитывая, что плотность чугуна равна $7,2 \text{ г/см}^3$.

Для нахождения массы постамента необходимо сначала вычислить его объем. Постамент имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды. Объем такой фигуры вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$$

где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основаниями являются квадраты. Найдем их площади.

Сторона большего основания $a = 30$ дм. Его площадь $S_1$ равна:

$$S_1 = a^2 = 30^2 = 900 \text{ дм}^2$$

Сторона меньшего основания $b = 20$ дм. Его площадь $S_2$ равна:

$$S_2 = b^2 = 20^2 = 400 \text{ дм}^2$$

Высота пирамиды по условию $h = 15$ дм. Теперь можно вычислить объем постамента:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot (900 + \sqrt{900 \cdot 400} + 400)$$

$$V = 5 \cdot (900 + \sqrt{360000} + 400)$$

$$V = 5 \cdot (900 + 600 + 400) = 5 \cdot 1900 = 9500 \text{ дм}^3$$

Плотность чугуна дана в г/см³, поэтому для вычисления массы необходимо привести объем и плотность к совместимым единицам измерения. Переведем объем из кубических дециметров в кубические сантиметры. Зная, что 1 дм = 10 см, получаем:

$$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$$

Таким образом, объем постамента в см³:

$$V = 9500 \text{ дм}^3 \cdot 1000 \frac{\text{см}^3}{\text{дм}^3} = 9\ 500\ 000 \text{ см}^3$$

Масса вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность вещества. Плотность чугуна $\rho = 7,2$ г/см³.

$$m = 7,2 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 9\ 500\ 000 \text{ см}^3 = 68\ 400\ 000 \text{ г}$$

Полученное значение массы очень велико, поэтому целесообразно перевести его в более крупные единицы, например, в тонны (1 т = 1000 кг = 1 000 000 г).

$$m = \frac{68\ 400\ 000 \text{ г}}{1\ 000\ 000 \frac{\text{г}}{\text{т}}} = 68,4 \text{ т}$$

Ответ: 68,4 т.