Номер 490, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

490. В треугольной усеченной пирамиде через ребро меньшего основания проведено сечение, параллельное противоположному боковому ребру. Найдите отношение объемов полученных частей, учитывая, что ребра оснований относятся как:

a) $1 : 2$ (рис. 165);

б) $2 : 3$.

Рис. 165

Пусть усеченная пирамида имеет высоту $h$, площадь нижнего основания $S_0$ и площадь верхнего основания $S_1$. Пусть ребра меньшего основания относятся к ребрам большего с коэффициентом $k$. Тогда площади оснований соотносятся как $S_1 = k^2 S_0$. Объем усеченной пирамиды $V_{уп}$ вычисляется по формуле:$V_{уп} = \frac{1}{3}h(S_0 + S_1 + \sqrt{S_0 S_1}) = \frac{1}{3}h(S_0 + k^2 S_0 + \sqrt{S_0 \cdot k^2 S_0}) = \frac{1}{3}hS_0(1+k+k^2)$.

Обозначим вершины нижнего (большего) основания как $A, B, C$, а верхнего (меньшего) — $A_1, B_1, C_1$. Сечение проведено через ребро меньшего основания, например $A_1B_1$, и параллельно противоположному боковому ребру $CC_1$. Достроим усеченную пирамиду до полной пирамиды с вершиной $S$. Ребро $CC_1$ лежит на прямой $SC$. Следовательно, секущая плоскость параллельна прямой $SC$.

Пусть секущая плоскость пересекает ребра $AC$ и $BC$ нижнего основания в точках $K$ и $L$ соответственно. Так как секущая плоскость, проходящая через прямую $A_1B_1$, параллельна прямой $SC$, то линии ее пересечения с гранями $SAC$ и $SBC$ (содержащими прямую $SC$) будут параллельны $SC$. Таким образом, $A_1K \parallel SC$ и $B_1L \parallel SC$.

Рассмотрим грань $SAC$. В треугольнике $\triangle ASC$ проведена прямая $A_1K$, параллельная стороне $SC$. Из этого следует подобие треугольников $\triangle AA_1K \sim \triangle ASC$. Из подобия исходной полной пирамиды $S-ABC$ и отсеченной $S-A_1B_1C_1$ известно, что $\frac{SA_1}{SA} = k$. Тогда $\frac{AA_1}{AS} = \frac{AS - SA_1}{AS} = 1 - \frac{SA_1}{SA} = 1-k$. Из подобия $\triangle AA_1K \sim \triangle ASC$ следует, что $\frac{AK}{AC} = \frac{AA_1}{AS} = 1-k$. Тогда $\frac{KC}{AC} = \frac{AC-AK}{AC} = 1 - \frac{AK}{AC} = 1 - (1-k) = k$. Аналогично для грани $SBC$ получаем $\frac{LC}{BC} = k$.

Сечение разделило усеченную пирамиду на две части. Рассмотрим ту часть, которая содержит ребро $C_1C$. Обозначим ее объем как $V_1$. Этот многогранник $A_1B_1C_1KLC$. Боковые ребра этого многогранника $A_1K$, $B_1L$ и $C_1C$ параллельны друг другу (так как все они параллельны прямой $SC$).Основаниями этого тела являются треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle KLC$. Поскольку $\frac{KC}{AC} = \frac{LC}{BC} = k$, треугольник $\triangle KLC$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $k$. Его площадь $S_{KLC} = k^2 S_0$. Площадь верхнего основания $S_{A_1B_1C_1} = S_1 = k^2 S_0$. Так как основания $A_1B_1C_1$ и $KLC$ параллельны и равны по площади, а боковые ребра $A_1K$, $B_1L$, $C_1C$ параллельны, то многогранник $A_1B_1C_1KLC$ является наклонной треугольной призмой. Ее высота равна высоте усеченной пирамиды $h$.

Объем этой призмы $V_1$ равен произведению площади ее основания на высоту:$V_1 = S_{KLC} \cdot h = k^2 S_0 h$.

Объем второй части $V_2$ равен разности объемов усеченной пирамиды и первой части:$V_2 = V_{уп} - V_1 = \frac{1}{3}hS_0(1+k+k^2) - k^2 S_0 h = S_0 h \left( \frac{1+k+k^2}{3} - k^2 \right) = S_0 h \frac{1+k+k^2-3k^2}{3} = \frac{1}{3}S_0 h (1+k-2k^2)$.

Найдем отношение объемов $V_1$ и $V_2$.$\frac{V_1}{V_2} = \frac{k^2 S_0 h}{\frac{1}{3}S_0 h (1+k-2k^2)} = \frac{3k^2}{1+k-2k^2}$. Разложим знаменатель на множители: $1+k-2k^2 = (1-k)(1+2k)$.$\frac{V_1}{V_2} = \frac{3k^2}{(1-k)(1+2k)}$.

а) Ребра оснований относятся как 1 : 2, значит, отношение ребра меньшего основания к ребру большего $k = \frac{1}{2}$.

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \cdot (\frac{1}{2})^2}{(1-\frac{1}{2})(1+2\cdot\frac{1}{2})} = \frac{3 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \cdot (1+1)} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2} \cdot 2} = \frac{\frac{3}{4}}{1} = \frac{3}{4}$.
Ответ: 3 : 4.

б) Ребра оснований относятся как 2 : 3, значит, $k = \frac{2}{3}$.

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \cdot (\frac{2}{3})^2}{(1-\frac{2}{3})(1+2\cdot\frac{2}{3})} = \frac{3 \cdot \frac{4}{9}}{\frac{1}{3} \cdot (1+\frac{4}{3})} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{7}{9}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7}$.
Ответ: 12 : 7.