Номер 484, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

484. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 17 см и основанием 26 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что:

а) все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$ (рис. 162);

б) все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$ (рис. 163).

Рис. 162

Рис. 163

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник со сторонами 17 см, 17 см и 26 см. Найдем его площадь. Сначала найдем высоту треугольника, проведенную к основанию. Эта высота является также медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по $26/2 = 13$ см. По теореме Пифагора, высота $h$ равна:

$h = \sqrt{17^2 - 13^2} = \sqrt{(17-13)(17+13)} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 2\sqrt{30} = 26\sqrt{30}$ см².

Теперь рассмотрим два случая.

а) все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°

Если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота пирамиды $H$ связана с радиусом описанной окружности $R$ и углом наклона ребер $\alpha$ соотношением $H = R \cdot \tan(\alpha)$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для треугольника в основании по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:

$R = \frac{17 \cdot 17 \cdot 26}{4 \cdot 26\sqrt{30}} = \frac{17^2}{4\sqrt{30}} = \frac{289}{4\sqrt{30}}$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$, учитывая, что $\alpha = 60^\circ$:

$H = R \cdot \tan(60^\circ) = \frac{289}{4\sqrt{30}} \cdot \sqrt{3} = \frac{289\sqrt{3}}{4\sqrt{10 \cdot 3}} = \frac{289\sqrt{3}}{4\sqrt{10}\sqrt{3}} = \frac{289}{4\sqrt{10}}$ см.

Вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot 26\sqrt{30} \cdot \frac{289}{4\sqrt{10}} = \frac{26 \cdot 289 \cdot \sqrt{3 \cdot 10}}{12\sqrt{10}} = \frac{26 \cdot 289 \sqrt{3}}{12} = \frac{13 \cdot 289 \sqrt{3}}{6} = \frac{3757\sqrt{3}}{6}$ см³.

Ответ: $\frac{3757\sqrt{3}}{6}$ см³.

б) все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и углом наклона граней $\beta$ соотношением $H = r \cdot \tan(\beta)$.

Найдем радиус $r$ вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Полупериметр $p = \frac{17+17+26}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{26\sqrt{30}}{30} = \frac{13\sqrt{30}}{15}$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$, учитывая, что $\beta = 60^\circ$:

$H = r \cdot \tan(60^\circ) = \frac{13\sqrt{30}}{15} \cdot \sqrt{3} = \frac{13\sqrt{90}}{15} = \frac{13 \cdot 3\sqrt{10}}{15} = \frac{13\sqrt{10}}{5}$ см.

Вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot 26\sqrt{30} \cdot \frac{13\sqrt{10}}{5} = \frac{26 \cdot 13 \cdot \sqrt{300}}{15} = \frac{338 \cdot \sqrt{100 \cdot 3}}{15} = \frac{338 \cdot 10\sqrt{3}}{15} = \frac{338 \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{676\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{676\sqrt{3}}{3}$ см³.