Номер 487, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

487. Найдите объем и полную поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды, высота которой равна 4 см, а ребра оснований — 6 см и 12 см (рис. 164).

Рис. 164

Рис. 164

Для решения задачи нам нужно найти объем и полную площадь поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Дано:
Правильная четырехугольная усеченная пирамида.
Сторона нижнего основания: $a_2 = 12$ см.
Сторона верхнего основания: $a_1 = 6$ см.
Высота пирамиды: $h = 4$ см.

1. Нахождение объема (V)

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ — высота, $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.

Так как основаниями являются квадраты, их площади равны:
Площадь верхнего основания: $S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².
Площадь нижнего основания: $S_2 = a_2^2 = 12^2 = 144$ см².

Теперь подставим известные значения в формулу для объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (36 + 144 + \sqrt{36 \cdot 144})$
$V = \frac{4}{3} \cdot (180 + \sqrt{5184})$
Поскольку $\sqrt{36 \cdot 144} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{144} = 6 \cdot 12 = 72$, получаем:
$V = \frac{4}{3} \cdot (180 + 72)$
$V = \frac{4}{3} \cdot 252$
$V = 4 \cdot 84 = 336$ см³.

Ответ: Объем усеченной пирамиды равен 336 см³.

2. Нахождение полной поверхности (S_полн)

Полная поверхность усеченной пирамиды — это сумма площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$

Площади оснований мы уже нашли: $S_1 = 36$ см² и $S_2 = 144$ см².

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдем периметры оснований:
$P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 6 = 24$ см.
$P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 12 = 48$ см.

Далее найдем апофему $l$. Апофему можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и полуразность сторон оснований $\frac{a_2-a_1}{2}$.
Один катет: $h = 4$ см.
Второй катет: $\frac{a_2 - a_1}{2} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (\frac{a_2 - a_1}{2})^2$
$l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$l = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(24 + 48) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180$ см².

Наконец, найдем полную площадь поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 36 + 144 + 180 = 360$ см².

Ответ: Полная поверхность усеченной пирамиды равна 360 см².