Номер 513, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

513. В треугольной усеченной пирамиде ребра большего основания равны 18 см, 30 см и 42 см, все двугранные углы при них равны по $45^{\circ}$. Найдите объем этой пирамиды, учитывая, что ее высота составляет $\frac{3}{4}$ высоты соответствующей полной пирамиды.

Для решения задачи найдем объем усеченной пирамиды как разность объемов полной пирамиды, из которой она была получена, и малой пирамиды, отсеченной от полной. Обозначим площадь большего основания как $S_1$, высоту полной пирамиды как $H$, объем полной пирамиды как $V_{полн}$, а объем малой (отсеченной) пирамиды как $V_{мал}$.

Сначала найдем параметры полной пирамиды. Большее основание — это треугольник со сторонами $a_1 = 18$ см, $b_1 = 30$ см и $c_1 = 42$ см. Вычислим его площадь $S_1$, используя формулу Герона. Для этого найдем полупериметр $p_1$:
$p_1 = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{2} = \frac{18 + 30 + 42}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь вычислим площадь $S_1$:
$S_1 = \sqrt{p_1(p_1-a_1)(p_1-b_1)(p_1-c_1)} = \sqrt{45(45-18)(45-30)(45-42)} = \sqrt{45 \cdot 27 \cdot 15 \cdot 3} = 135\sqrt{3}$ см$^2$.

Из условия известно, что все двугранные углы при ребрах большего основания равны $45°$. Это свойство означает, что вершина полной пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, высота полной пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r_1$ связаны соотношением $\tan(45°) = \frac{H}{r_1}$. Поскольку $\tan(45°) = 1$, то $H = r_1$.

Найдем радиус вписанной окружности по формуле $r_1 = \frac{S_1}{p_1}$:
$r_1 = \frac{135\sqrt{3}}{45} = 3\sqrt{3}$ см.

Таким образом, высота полной пирамиды $H = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем полной пирамиды по формуле $V_{полн} = \frac{1}{3}S_1 H$:
$V_{полн} = \frac{1}{3} \cdot 135\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 135 \cdot (\sqrt{3})^2 = 135 \cdot 3 = 405$ см$^3$.

Далее найдем объем малой пирамиды. По условию, высота усеченной пирамиды $h_{усеч}$ составляет $\frac{3}{4}$ высоты полной пирамиды $H$. Это значит, что высота малой пирамиды $H_{мал}$, отсекаемой от полной, составляет:
$H_{мал} = H - h_{усеч} = H - \frac{3}{4}H = \frac{1}{4}H$.

Малая пирамида подобна полной. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот: $k = \frac{H_{мал}}{H} = \frac{1}{4}$.
Отношение объемов подобных пирамид равно кубу коэффициента подобия: $\frac{V_{мал}}{V_{полн}} = k^3$.
Отсюда объем малой пирамиды:
$V_{мал} = V_{полн} \cdot k^3 = 405 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 405 \cdot \frac{1}{64} = \frac{405}{64}$ см$^3$.

Наконец, находим объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$:
$V_{усеч} = V_{полн} - V_{мал} = 405 - \frac{405}{64} = 405 \left(1 - \frac{1}{64}\right) = 405 \cdot \frac{63}{64} = \frac{25515}{64}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{25515}{64}$ см$^3$.