Номер 519, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

519. Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат со стороной $a$. Ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания и имеет длину $b$. Цилиндр расположен так, что одно его основание вписано в треугольник $SCD$, а другое касается грани $SAB$ (рис. 176). Найдите высоту цилиндра.

Рис. 176

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D. Направим ось Ox вдоль ребра DC, ось Oy вдоль ребра DA и ось Oz вдоль ребра SD. В этой системе координат вершины пирамиды имеют следующие координаты:
D(0, 0, 0)
C(a, 0, 0)
A(0, a, 0)
S(0, 0, b)

Одно из оснований цилиндра вписано в треугольник SCD. Этот треугольник лежит в плоскости xOz (ее уравнение y = 0). Так как ребро SD перпендикулярно плоскости основания, то $SD \perp DC$, и треугольник SCD является прямоугольным с катетами $DC = a$ и $SD = b$. Гипотенуза $SC = \sqrt{DC^2 + SD^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Найдем радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник SCD. Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c радиус вписанной окружности равен $r = \frac{a+b-c}{2}$. В нашем случае:
$r = \frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}$
Также можно использовать формулу $r = \frac{S}{p}$, где S - площадь, а p - полупериметр.
$S_{SCD} = \frac{1}{2}ab$
$p = \frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}$
$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$
Оба выражения для $r$ тождественны.

Центр $O_1$ этой вписанной окружности (основания цилиндра) в плоскости xOz, учитывая, что вершина прямого угла D находится в начале координат, имеет координаты $O_1(r, 0, r)$.

Ось цилиндра перпендикулярна плоскости SCD (y=0), следовательно, она параллельна оси Oy. Пусть высота цилиндра равна $h$. Тогда центр второго основания цилиндра, $O_2$, имеет координаты $O_2(r, h, r)$.

Второе основание цилиндра касается грани SAB. Это означает, что расстояние от центра этого основания, точки $O_2$, до плоскости грани SAB равно радиусу цилиндра $r$.

Найдем уравнение плоскости, содержащей грань SAB. Вершины этой грани: S(0, 0, b), A(0, a, 0) и B(a, a, 0).
Составим векторы, лежащие в этой плоскости:$\vec{SA} = (0-0, a-0, 0-b) = (0, a, -b)$
$\vec{AB} = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$
Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости SAB найдем как векторное произведение:$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -b \\ a & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(ab) + \mathbf{k}(-a^2) = (0, -ab, -a^2)$
В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный вектор, разделив на $-a$: $\vec{n'} = (0, b, a)$.
Уравнение плоскости SAB имеет вид $0 \cdot x + b \cdot y + a \cdot z + D = 0$. Для нахождения D подставим координаты точки A(0, a, 0):
$b \cdot a + a \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -ab$
Итак, уравнение плоскости SAB: $by + az - ab = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $O_2(r, h, r)$ до плоскости $by + az - ab = 0$.$d = \frac{|b \cdot h + a \cdot r - ab|}{\sqrt{0^2 + b^2 + a^2}} = \frac{|bh + ar - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Это расстояние должно быть равно радиусу $r$:
$r = \frac{|bh + ar - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \Rightarrow |bh + ar - ab| = r\sqrt{a^2 + b^2}$

Цилиндр расположен внутри пирамиды, поэтому его центр $O_2$ должен находиться с той же стороны от плоскости SAB, что и, например, вершина D(0,0,0). Подставим координаты точки D в левую часть уравнения плоскости: $b \cdot 0 + a \cdot 0 - ab = -ab$. Результат отрицателен. Следовательно, и для точки $O_2$ выражение $bh + ar - ab$ должно быть отрицательным. Таким образом, мы можем раскрыть модуль со знаком минус:
$-(bh + ar - ab) = r\sqrt{a^2 + b^2}$
$ab - bh - ar = r\sqrt{a^2 + b^2}$
Выразим $h$:
$bh = ab - ar - r\sqrt{a^2 + b^2}$
$bh = ab - r(a + \sqrt{a^2 + b^2})$
$h = a - \frac{r}{b}(a + \sqrt{a^2 + b^2})$

Подставим выражение для $r = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$:
$h = a - \frac{1}{b} \cdot \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \cdot (a + \sqrt{a^2 + b^2})$
$h = a - \frac{a(a + \sqrt{a^2 + b^2})}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$
$h = a \left(1 - \frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\right)$
$h = a \left(\frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2} - (a + \sqrt{a^2 + b^2})}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\right)$
$h = a \left(\frac{b}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\right)$
$h = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$

Ответ: Высота цилиндра равна $\frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$.