Номер 523, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

523*. Противоположные ребра треугольной пирамиды попарно равны: $AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c$. Найдите объем пирамиды.

Решение

Такая треугольная пирамида, у которой противоположные ребра попарно равны, называется равногранным тетраэдром. Все четыре грани такого тетраэдра являются равными между собой треугольниками со сторонами $a, b, c$.

Для нахождения объема такого тетраэдра удобно использовать метод вписывания его в прямоугольный параллелепипед. Вершины тетраэдра будут совпадать с четырьмя вершинами параллелепипеда, не смежными друг с другом, так, что ребра тетраэдра будут диагоналями граней этого параллелепипеда.

Пусть измерения (длина, ширина, высота) прямоугольного параллелепипеда равны $x, y, z$. Тогда квадраты длин диагоналей его граней будут равны $x^2+y^2$, $y^2+z^2$, и $x^2+z^2$. Сопоставим их с квадратами длин ребер тетраэдра $a^2, b^2, c^2$, выходящих из одной вершины. Получаем систему уравнений:

$x^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + z^2 = b^2$
$y^2 + z^2 = c^2$

Сложим все три уравнения системы:

$2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда находим сумму квадратов измерений:

$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Теперь, вычитая из этого выражения каждое из исходных уравнений по очереди, найдем $x^2, y^2, z^2$:

$z^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - a^2 = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}$

$y^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - b^2 = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}$

$x^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (y^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - c^2 = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$

Объем прямоугольного параллелепипеда равен $V_{пар} = xyz$. Объем вписанного в него тетраэдра $V$ составляет одну треть от объема параллелепипеда: $V = \frac{1}{3} V_{пар} = \frac{1}{3}xyz$. (Это получается вычитанием из объема параллелепипеда объемов четырех "угловых" пирамид, каждая из которых имеет объем $\frac{1}{6}xyz$).

Найдем квадрат объема тетраэдра:

$V^2 = \left(\frac{1}{3}xyz\right)^2 = \frac{1}{9}x^2y^2z^2$

Подставим найденные выражения для $x^2, y^2, z^2$:

$V^2 = \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}\right) \cdot \left(\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}\right) \cdot \left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}\right)$

$V^2 = \frac{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}{72}$

Извлекая квадратный корень, получаем окончательную формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{\sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}}{\sqrt{72}} = \frac{\sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}}{6\sqrt{2}}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}}{6\sqrt{2}}$