Номер 530, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

530. Прямая образует угол $30^\circ$ с плоскостью основания конуса с образующей $l$, пересекает высоту конуса и плоскость его основания за $\frac{5}{8}l$ от его центра (рис. 179). Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного поверхностью конуса, учитывая, что диаметр основания равен образующей.

Рис. 179

Для решения задачи введем систему координат и рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через данную прямую. Поскольку прямая пересекает высоту конуса, она лежит в плоскости осевого сечения.

1. Определение параметров конуса

Пусть $l$ — длина образующей конуса. По условию, диаметр основания $D$ равен образующей: $D = l$. Следовательно, радиус основания $R$ равен:$R = \frac{D}{2} = \frac{l}{2}$

Высоту конуса $H$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей:$H^2 + R^2 = l^2$$H^2 + (\frac{l}{2})^2 = l^2$$H^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}$$H = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $D=l$. Таким образом, это сечение является равносторонним треугольником со стороной $l$.

2. Введение системы координат и уравнение прямой

Расположим осевое сечение в системе координат $xy$. Пусть центр основания конуса находится в начале координат $(0, 0)$, а высота конуса лежит на оси $Oy$. Тогда вершина конуса будет в точке $V(0, H) = (0, \frac{l\sqrt{3}}{2})$, а основание сечения — на оси $Ox$ от $(-\frac{l}{2}, 0)$ до $(\frac{l}{2}, 0)$.

Данная прямая лежит в этой плоскости $xy$. Угол, который прямая образует с плоскостью основания, — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В нашей системе координат это угол с осью $Ox$. Угол равен $30^\circ$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу этого угла:$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Прямая пересекает плоскость основания (ось $Ox$) в точке, удаленной от центра на расстояние $\frac{5}{8}l$. Согласно рисунку, возьмем точку пересечения $A$ с координатами $(-\frac{5l}{8}, 0)$.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставим координаты точки $A$ и значение $k$:$0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\frac{5l}{8}) + b$$b = \frac{5l}{8\sqrt{3}}$

Итак, уравнение нашей прямой:$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{5l}{8\sqrt{3}}$

3. Нахождение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

Отрезок прямой ограничен поверхностью конуса. Это означает, что его концы лежат на границе осевого сечения. Один конец — это точка $A(-\frac{5l}{8}, 0)$, которая лежит на продолжении радиуса основания. Другой конец, точка $B$, лежит на образующей конуса.

Найдем уравнение левой образующей в нашем сечении. Она проходит через точки $V(0, \frac{l\sqrt{3}}{2})$ и $(-\frac{l}{2}, 0)$. Ее угловой коэффициент $k_l = \frac{\frac{l\sqrt{3}}{2} - 0}{0 - (-\frac{l}{2})} = \sqrt{3}$. Уравнение образующей (с учетом того, что она проходит через точку $V$, которая является точкой пересечения с осью $Oy$):$y = \sqrt{3}x + \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем точку пересечения $B(x_B, y_B)$ нашей прямой и этой образующей, решив систему уравнений:$\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{5l}{8\sqrt{3}} = \sqrt{3}x + \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части уравнения на $8\sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателей:$8x + 5l = (\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3})x + (\frac{l\sqrt{3}}{2} \cdot 8\sqrt{3})$$8x + 5l = 24x + 12l$$16x = -7l$$x_B = -\frac{7l}{16}$

Найдем $y_B$, подставив $x_B$ в уравнение образующей:$y_B = \sqrt{3}(-\frac{7l}{16}) + \frac{l\sqrt{3}}{2} = -\frac{7l\sqrt{3}}{16} + \frac{8l\sqrt{3}}{16} = \frac{l\sqrt{3}}{16}$

Таким образом, вторая точка пересечения — это $B(-\frac{7l}{16}, \frac{l\sqrt{3}}{16})$.

4. Вычисление длины отрезка

Теперь нужно найти длину отрезка $AB$ между точками $A(-\frac{5l}{8}, 0)$ и $B(-\frac{7l}{16}, \frac{l\sqrt{3}}{16})$. Приведем координату $x_A$ к знаменателю 16: $x_A = -\frac{10l}{16}$.

Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:$d = \sqrt{(-\frac{7l}{16} - (-\frac{10l}{16}))^2 + (\frac{l\sqrt{3}}{16} - 0)^2}$$d = \sqrt{(\frac{3l}{16})^2 + (\frac{l\sqrt{3}}{16})^2}$$d = \sqrt{\frac{9l^2}{256} + \frac{3l^2}{256}}$$d = \sqrt{\frac{12l^2}{256}} = \sqrt{\frac{3l^2}{64}}$$d = \frac{l\sqrt{3}}{8}$

Ответ: $\frac{l\sqrt{3}}{8}$