Номер 537, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

537. Найдите объем конуса, его боковую и полную поверхности, учитывая, что его высота равна 40 см, а площадь осевого сечения — 360 $см^2$.

Пусть $h$ — высота конуса, $r$ — радиус его основания, а $l$ — образующая. Из условия задачи имеем: высота $h = 40$ см, площадь осевого сечения $S_{сеч} = 360$ см².

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а его высота совпадает с высотой конуса ($h$). Площадь осевого сечения вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$.

Используя эту формулу, мы можем найти радиус основания конуса $r$: $r = \frac{S_{сеч}}{h} = \frac{360 \text{ см}^2}{40 \text{ см}} = 9$ см.

Далее найдем длину образующей конуса $l$. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора, поскольку они образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой: $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$ см.

Теперь, зная радиус, высоту и образующую, мы можем рассчитать объем, боковую и полную поверхности конуса.

Объем конуса
Объем конуса ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Подставляем известные значения:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (9 \text{ см})^2 \cdot 40 \text{ см} = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \text{ см}^2 \cdot 40 \text{ см} = 27 \cdot 40 \cdot \pi \text{ см}^3 = 1080\pi$ см³.
Ответ: $1080\pi$ см³.

Боковая поверхность конуса
Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
Подставляем известные значения:
$S_{бок} = \pi \cdot 9 \text{ см} \cdot 41 \text{ см} = 369\pi$ см².
Ответ: $369\pi$ см².

Полная поверхность конуса
Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$):
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2$.
$S_{полн} = 369\pi \text{ см}^2 + \pi \cdot (9 \text{ см})^2 = 369\pi \text{ см}^2 + 81\pi \text{ см}^2 = 450\pi$ см².
Ответ: $450\pi$ см².