Номер 544, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

544. Образующая конуса равна 25 см. Середина высоты конуса находится на расстоянии 6 см от нее (рис. 182). Найдите объем этого конуса и площадь его поверхности.

Рис. 182

Обозначим образующую конуса как $l$, высоту как $h$, а радиус основания как $r$. По условию, образующая $l = 25$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в котором высота конуса $h$ и радиус основания $r$ являются катетами прямоугольного треугольника, а образующая $l$ — гипотенузой. Следовательно, они связаны теоремой Пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$.

Пусть $M$ — середина высоты конуса. Расстояние от точки $M$ до образующей — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на образующую. Обозначим его $d$. По условию, $d = 6$ см. Отрезок от вершины конуса до точки $M$ равен половине высоты, то есть $h/2$.

В осевом сечении мы имеем два подобных прямоугольных треугольника: первый, образованный высотой $h$, радиусом $r$ и образующей $l$, и второй, образованный отрезком $h/2$ (как гипотенузой) и перпендикуляром $d=6$ (как катетом). Они подобны по общему острому углу при вершине конуса.

Из подобия этих треугольников следует соотношение соответствующих сторон (катета, противолежащего общему углу, к гипотенузе):

$\frac{d}{r} = \frac{h/2}{l}$

Подставим известные значения $d=6$ и $l=25$:

$\frac{6}{r} = \frac{h/2}{25} \Rightarrow \frac{6}{r} = \frac{h}{50}$

Отсюда получаем первое уравнение, связывающее $r$ и $h$: $rh = 300$.

Второе уравнение — это теорема Пифагора: $h^2 + r^2 = 25^2 = 625$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} rh = 300 \\ r^2 + h^2 = 625 \end{cases}$

Выразим $r$ из первого уравнения ($r = \frac{300}{h}$) и подставим во второе:

$(\frac{300}{h})^2 + h^2 = 625$

$\frac{90000}{h^2} + h^2 = 625$

Сделаем замену $x = h^2$. Уравнение примет вид: $\frac{90000}{x} + x = 625$.

Умножим обе части на $x$ (где $x \neq 0$): $90000 + x^2 = 625x$.

Получаем квадратное уравнение: $x^2 - 625x + 90000 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-625)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90000 = 390625 - 360000 = 30625 = 175^2$.

Находим корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{625 - 175}{2} = \frac{450}{2} = 225$

$x_2 = \frac{625 + 175}{2} = \frac{800}{2} = 400$

Так как $x = h^2$, то возможны два случая:

1. Если $h^2 = 225$, то высота $h = 15$ см. Тогда радиус $r = \frac{300}{15} = 20$ см.

2. Если $h^2 = 400$, то высота $h = 20$ см. Тогда радиус $r = \frac{300}{20} = 15$ см.

Оба случая удовлетворяют условию задачи. Следовательно, существуют два конуса, соответствующих заданным параметрам. Мы должны найти объем и площадь поверхности для каждого из них.

Найдите объем этого конуса

Формула для вычисления объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

1. Для конуса с $h = 15$ см и $r = 20$ см:
$V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 20^2 \cdot 15 = \frac{1}{3}\pi \cdot 400 \cdot 15 = \pi \cdot 400 \cdot 5 = 2000\pi$ см³.

2. Для конуса с $h = 20$ см и $r = 15$ см:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 15^2 \cdot 20 = \frac{1}{3}\pi \cdot 225 \cdot 20 = \pi \cdot 75 \cdot 20 = 1500\pi$ см³.

Ответ: $2000\pi$ см³ или $1500\pi$ см³.

площадь его поверхности

Формула для вычисления площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l+r)$.

1. Для конуса с $r = 20$ см (и $l = 25$ см):
$S_1 = \pi \cdot 20 \cdot (25 + 20) = 20\pi \cdot 45 = 900\pi$ см².

2. Для конуса с $r = 15$ см (и $l = 25$ см):
$S_2 = \pi \cdot 15 \cdot (25 + 15) = 15\pi \cdot 40 = 600\pi$ см².

Ответ: $900\pi$ см² или $600\pi$ см².