Номер 538, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

538. Найдите объем конуса, разверткой боковой поверхности которого является сектор с углом $240^\circ$ и радиусом $15 \text{ см}$.

538.

Для нахождения объема конуса необходимо знать его высоту $h$ и радиус основания $r$. Формула для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора $L$ равна длине окружности основания конуса $C$.

Из условия задачи нам даны:

• Угол сектора $\alpha = 240^\circ$.
• Радиус сектора, который является образующей конуса, $l = 15$ см.

1. Найдем длину дуги сектора $L$, которая будет равна длине окружности основания конуса. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$.
Подставим известные значения:
$L = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 15 = \frac{2}{3} \cdot 30\pi = 20\pi$ см.

2. Теперь найдем радиус основания конуса $r$. Длина окружности основания $C$ равна длине дуги сектора $L$.
$C = 2\pi r = L$
$2\pi r = 20\pi$
$r = \frac{20\pi}{2\pi} = 10$ см.

3. Найдем высоту конуса $h$. Образующая $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ связаны теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где $l$ является гипотенузой: $l^2 = r^2 + h^2$.
Выразим высоту:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = 15^2 - 10^2 = 225 - 100 = 125$
$h = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

4. Наконец, вычислим объем конуса $V$ по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (10)^2 \cdot (5\sqrt{5}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 100 \cdot 5\sqrt{5} = \frac{500\pi\sqrt{5}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{500\pi\sqrt{5}}{3}$ см³.