Номер 532, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

532. Образующая конуса имеет длину 30 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем конуса, его боковую и полную поверхности.

Обозначим длину образующей конуса как $l$, радиус его основания как $R$, высоту как $H$, и угол наклона образующей к плоскости основания как $\alpha$.

По условию задачи имеем:

• $l = 30$ см
• $\alpha = 60°$

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Угол между образующей $l$ и плоскостью основания (то есть радиусом $R$) равен $\alpha = 60°$.

Используя тригонометрические функции, найдем радиус $R$ и высоту $H$:

Радиус основания: $R = l \cdot \cos(\alpha) = 30 \cdot \cos(60°) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ см.

Высота конуса: $H = l \cdot \sin(\alpha) = 30 \cdot \sin(60°) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ см.

Теперь, имея все необходимые параметры, можем вычислить объем, боковую и полную поверхности конуса.

Объем конуса

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Подставим найденные значения $R = 15$ см и $H = 15\sqrt{3}$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (15)^2 \cdot 15\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 15\sqrt{3} = \pi \cdot 75 \cdot 15\sqrt{3} = 1125\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $1125\pi\sqrt{3}$ см³.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$.

Подставим значения $R = 15$ см и $l = 30$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot 15 \cdot 30 = 450\pi$ см².

Ответ: $450\pi$ см².

Полная поверхность

Площадь полной поверхности конуса — это сумма площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$):

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R(l+R)$.

Подставим значения $R = 15$ см и $l = 30$ см:

$S_{полн} = \pi \cdot 15 \cdot (30 + 15) = 15\pi \cdot 45 = 675\pi$ см².

Или, используя уже вычисленную площадь боковой поверхности:

$S_{осн} = \pi \cdot (15)^2 = 225\pi$ см².

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 450\pi + 225\pi = 675\pi$ см².

Ответ: $675\pi$ см².