Номер 536, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

536. Найдите объем конуса, учитывая, что площадь его основания и боковая поверхность соответственно равны $24\pi \text{ см}^2$ и $26\pi \text{ см}^2$.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота конуса.
В условии задачи даны площадь основания $S_{осн} = 24\pi \text{ см}^2$ и площадь боковой поверхности $S_{бок} = 26\pi \text{ см}^2$.
Чтобы найти объем, нам необходимо сначала определить высоту конуса $h$.

1. Найдем радиус основания конуса (r).
Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Подставим известное значение:
$24\pi = \pi r^2$
Разделив обе части на $\pi$, получим:
$r^2 = 24$
$r = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.

2. Найдем образующую конуса (l).
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Подставим известные значения $S_{бок}$ и $r$:
$26\pi = \pi \cdot (2\sqrt{6}) \cdot l$
Выразим $l$:
$l = \frac{26\pi}{2\pi\sqrt{6}} = \frac{13}{\sqrt{6}} \text{ см}$.

3. Найдем высоту конуса (h).
Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$l^2 = r^2 + h^2$
Отсюда $h^2 = l^2 - r^2$. Подставим значения для $l^2$ и $r^2$:
$l^2 = \left(\frac{13}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{169}{6}$
$r^2 = 24$
$h^2 = \frac{169}{6} - 24 = \frac{169}{6} - \frac{144}{6} = \frac{25}{6}$
$h = \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}} \text{ см}$.

4. Вычислим объем конуса (V).
Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24\pi \cdot \frac{5}{\sqrt{6}} = 8\pi \cdot \frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{40\pi}{\sqrt{6}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$V = \frac{40\pi \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{40\pi\sqrt{6}}{6} = \frac{20\pi\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{20\pi\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.