Номер 541, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

541*. Тело получено вращением вокруг основания равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 см и углом 120°. Найдите объем этого тела и площадь его поверхности.

Тело, полученное вращением равнобедренного треугольника вокруг его основания, представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

В исходном равнобедренном треугольнике даны боковая сторона $l = 10$ см и угол при вершине $120^\circ$. При вращении этого треугольника вокруг основания, боковые стороны становятся образующими $l$ конусов, высота треугольника, опущенная на основание, становится радиусом $R$ их общего основания, а половина основания треугольника становится высотой $h$ каждого конуса.

Для нахождения размеров конусов рассмотрим прямоугольный треугольник, который является половиной исходного. Он образован боковой стороной (гипотенуза $l=10$ см), высотой и половиной основания. Углы при основании исходного треугольника равны $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Найдем радиус $R$ и высоту $h$ одного из конусов:

• Радиус $R$ общего основания конусов равен высоте исходного треугольника. В прямоугольном треугольнике этот катет противолежит углу $30^\circ$:
  $R = l \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
• Высота $h$ каждого конуса равна половине основания исходного треугольника. Этот катет прилежит к углу $30^\circ$:
  $h = l \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.
• Образующая конусов $l$ равна боковой стороне треугольника, то есть $l = 10$ см.

объем этого тела

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула объема одного конуса: $V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Таким образом, объем всего тела равен:

$V = 2 \cdot V_{\text{конуса}} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot (5)^2 \cdot (5\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\pi \cdot 25 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{250\sqrt{3}}{3}\pi$ см³.

площадь его поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (их основания соединены внутри тела и не являются частью внешней поверхности).

Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{\text{бок}} = \pi R l$.

Таким образом, площадь поверхности всего тела равна:

$S = 2 \cdot S_{\text{бок}} = 2 \cdot \pi R l = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$ см².

Ответ: $100\pi$ см².