Номер 548, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

548. Найдите площадь поверхности и объем тела, получаемого при вращении параллелограмма с суммой диагоналей 64 см и сторонами 17 см и 28 см вокруг большей стороны (рис. 183).

Рис. 183

Обозначим стороны параллелограмма как $a = 28$ см и $b = 17$ см. Пусть диагонали параллелограмма равны $d_1$ и $d_2$. По условию, сумма диагоналей $d_1 + d_2 = 64$ см.

Для любого параллелограмма справедливо свойство, связывающее его стороны и диагонали: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(28^2 + 17^2) = 2(784 + 289) = 2(1073) = 2146$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $ \begin{cases} d_1 + d_2 = 64 \\ d_1^2 + d_2^2 = 2146 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $d_2 = 64 - d_1$ и подставим во второе: $d_1^2 + (64 - d_1)^2 = 2146$ $d_1^2 + 4096 - 128d_1 + d_1^2 = 2146$ $2d_1^2 - 128d_1 + 1950 = 0$ $d_1^2 - 64d_1 + 975 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 975 = 4096 - 3900 = 196 = 14^2$ $d_1 = \frac{64 \pm 14}{2}$ Получаем два корня: $d_1 = \frac{78}{2} = 39$ или $d_1 = \frac{50}{2} = 25$.

Если $d_1 = 39$ см, то $d_2 = 64 - 39 = 25$ см. Если $d_1 = 25$ см, то $d_2 = 64 - 25 = 39$ см. Таким образом, диагонали параллелограмма равны 25 см и 39 см.

Для нахождения объема и площади поверхности тела вращения нам нужна высота параллелограмма $h$, проведенная к большей стороне $a = 28$ см. Эта высота будет радиусом вращения $R$. Найдем площадь параллелограмма. Она равна удвоенной площади треугольника со сторонами $a=28$, $b=17$ и одной из диагоналей, например $d=25$. Используем формулу Герона для площади треугольника. Полупериметр $p$: $p = \frac{28 + 17 + 25}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см. Площадь треугольника $S_{\triangle}$: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)} = \sqrt{35(35-28)(35-17)(35-25)} = \sqrt{35 \cdot 7 \cdot 18 \cdot 10} = \sqrt{44100} = 210$ см².

Площадь параллелограмма $S_p = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 210 = 420$ см².

С другой стороны, площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S_p = a \cdot h$. $420 = 28 \cdot h$ $h = \frac{420}{28} = 15$ см.

Таким образом, радиус вращения $R = h = 15$ см.

Найдем объем тела вращения

Тело, полученное при вращении параллелограмма вокруг одной из его сторон, состоит из цилиндра, к одному основанию которого присоединен конус, а из другого основания вырезан конус с такими же параметрами. Объем такого тела равен объему цилиндра с радиусом основания, равным высоте параллелограмма $h$, и высотой, равной стороне вращения $a$. Это следует из того, что объем добавленного конуса равен объему вырезанного конуса, и они компенсируют друг друга.

Радиус основания цилиндра $R = h = 15$ см. Высота цилиндра $H = a = 28$ см. Объем тела вращения $V$ равен объему этого цилиндра: $V = \pi R^2 H = \pi \cdot 15^2 \cdot 28 = \pi \cdot 225 \cdot 28 = 6300\pi$ см³.

Ответ: $V = 6300\pi$ см³.

Найдем площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения состоит из суммы площадей боковых поверхностей цилиндра и двух конусов.

1. Боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны, параллельной оси вращения. Длина этой стороны равна $a=28$ см, радиус вращения $R=15$ см. $S_{цил} = 2\pi R a = 2\pi \cdot 15 \cdot 28 = 840\pi$ см².
2. Боковые поверхности двух конусов образуются вращением двух других сторон параллелограмма (длиной $b=17$ см). Длина стороны $b$ является образующей конуса $l$. Радиус основания конусов равен $R=15$ см. Площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{кон} = \pi R l = \pi \cdot 15 \cdot 17 = 255\pi$ см².

Так как вращаются две такие стороны, общая площадь двух конических поверхностей равна $2 \cdot 255\pi = 510\pi$ см². Полная площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$ равна сумме этих площадей: $S_{пов} = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 840\pi + 510\pi = 1350\pi$ см².

Ответ: $S_{пов} = 1350\pi$ см².