Номер 551, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

551. Ребра основания треугольной пирамиды равны 75 см, 78 см и 9 см, высота — 3 см, все двугранные углы при основании равны. Найдите площадь поверхности и объем вписанного в пирамиду конуса.

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами $a = 75$ см, $b = 78$ см и $c = 9$ см. Высота пирамиды $H = 3$ см.

Поскольку все двугранные углы при основании пирамиды равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Следовательно, конус, вписанный в пирамиду, имеет ту же высоту, что и пирамида, а его основанием является круг, вписанный в треугольник в основании пирамиды.

Таким образом, высота конуса $h = H = 3$ см, а радиус основания конуса $r$ равен радиусу вписанной в треугольник окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр треугольника в основании:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{75 + 78 + 9}{2} = \frac{162}{2} = 81$ см.

2. Найдем площадь треугольника в основании по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{81(81-75)(81-78)(81-9)} = \sqrt{81 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 72} = \sqrt{81 \cdot 1296} = 9 \cdot 36 = 324$ см².

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности, который является радиусом основания конуса:

$r = \frac{S}{p} = \frac{324}{81} = 4$ см.

Теперь у нас есть все необходимые параметры конуса: радиус $r=4$ см и высота $h=3$ см.

Площадь поверхности вписанного конуса

Полная площадь поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$, где $l$ — длина образующей конуса.

Найдем образующую $l$ по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $h$ и $r$:

$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь вычислим площадь полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 4 \cdot 5 = 16\pi + 20\pi = 36\pi$ см².

Ответ: $36\pi$ см².

Объем вписанного конуса

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим известные значения радиуса и высоты:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi$ см³.

Ответ: $16\pi$ см³.