Номер 552, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

552. В правильной шестиугольной пирамиде с боковым ребром $l$ все диагональные сечения равновелики (рис. 184). Найдите площадь поверхности и объем вписанного в пирамиду конуса.

Рис. 184

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро которой равно $l$. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Высота пирамиды пусть будет $h$. В пирамиду вписан конус, высота которого совпадает с высотой пирамиды $h$, а радиус основания $r$ равен радиусу вписанной в шестиугольник окружности.

В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: большая, соединяющая противоположные вершины, и малая, соединяющая вершины через одну.

Длина большой диагонали $d_1 = 2a$.

Длина малой диагонали $d_2 = a\sqrt{3}$.

Диагональные сечения пирамиды — это равнобедренные треугольники, основаниями которых служат диагонали шестиугольника, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды $l$.

1. Сечение через большую диагональ. Это равнобедренный треугольник со сторонами $l, l, 2a$. Его высота, опущенная на основание $2a$, совпадает с высотой пирамиды $h$. Площадь этого сечения $S_1 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot h = ah$.

2. Сечение через малую диагональ. Это равнобедренный треугольник со сторонами $l, l, a\sqrt{3}$. Найдем его высоту $h_2$, опущенную на основание $a\sqrt{3}$. По теореме Пифагора: $h_2^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = l^2$, откуда $h_2 = \sqrt{l^2 - \frac{3a^2}{4}}$. Площадь этого сечения $S_2 = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} a\sqrt{3} \sqrt{l^2 - \frac{3a^2}{4}}$.

По условию задачи, площади этих сечений равны: $S_1 = S_2$.

$ah = \frac{a\sqrt{3}}{2} \sqrt{l^2 - \frac{3a^2}{4}}$

Свяжем высоту пирамиды $h$ с ребром $l$ и стороной основания $a$. Высота $h$, половина большой диагонали (равная $a$) и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник. Следовательно, $h^2 + a^2 = l^2$, откуда $h = \sqrt{l^2 - a^2}$.

Подставим выражение для $h$ в уравнение равенства площадей и сократим на $a$ (так как $a \ne 0$):

$\sqrt{l^2 - a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{l^2 - \frac{3a^2}{4}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$l^2 - a^2 = \frac{3}{4} \left(l^2 - \frac{3a^2}{4}\right)$

$l^2 - a^2 = \frac{3}{4}l^2 - \frac{9a^2}{16}$

$l^2 - \frac{3}{4}l^2 = a^2 - \frac{9a^2}{16}$

$\frac{1}{4}l^2 = \frac{16a^2 - 9a^2}{16}$

$\frac{1}{4}l^2 = \frac{7a^2}{16}$

Умножим обе части на 16: $4l^2 = 7a^2$, откуда $a^2 = \frac{4l^2}{7}$.

Теперь мы можем найти все необходимые параметры для конуса.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $h$:

$H = h = \sqrt{l^2 - a^2} = \sqrt{l^2 - \frac{4l^2}{7}} = \sqrt{\frac{3l^2}{7}} = \frac{l\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{l\sqrt{21}}{7}$.

Радиус основания конуса $r$ равен апофеме правильного шестиугольника:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как $a = \sqrt{\frac{4l^2}{7}} = \frac{2l}{\sqrt{7}}$, то $r = \frac{2l}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{l\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{l\sqrt{21}}{7}$.

Образующая конуса $L_{cone}$ находится по теореме Пифагора: $L_{cone}^2 = H^2 + r^2$.

$L_{cone}^2 = \left(\frac{l\sqrt{21}}{7}\right)^2 + \left(\frac{l\sqrt{21}}{7}\right)^2 = 2 \cdot \frac{21l^2}{49} = \frac{42l^2}{49} = \frac{6l^2}{7}$.

$L_{cone} = \sqrt{\frac{6l^2}{7}} = \frac{l\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{l\sqrt{42}}{7}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн} = \pi r^2$ и площади боковой поверхности $S_{бок} = \pi r L_{cone}$.

$S_{полн} = \pi r(r + L_{cone})$

$S_{полн} = \pi \frac{l\sqrt{21}}{7} \left(\frac{l\sqrt{21}}{7} + \frac{l\sqrt{42}}{7}\right) = \pi \frac{l\sqrt{21}}{7} \cdot \frac{l}{7} (\sqrt{21} + \sqrt{42})$

$S_{полн} = \frac{\pi l^2 \sqrt{21}}{49} (\sqrt{21} + \sqrt{21} \cdot \sqrt{2}) = \frac{\pi l^2 \sqrt{21}}{49} \cdot \sqrt{21} (1 + \sqrt{2})$

$S_{полн} = \frac{\pi l^2 \cdot 21}{49} (1 + \sqrt{2}) = \frac{3\pi l^2}{7} (1 + \sqrt{2})$

Ответ: $\frac{3\pi l^2(1+\sqrt{2})}{7}$

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$.

Мы знаем, что $r^2 = \left(\frac{l\sqrt{21}}{7}\right)^2 = \frac{21l^2}{49} = \frac{3l^2}{7}$ и $H = \frac{l\sqrt{21}}{7}$.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{3l^2}{7}\right) \cdot \left(\frac{l\sqrt{21}}{7}\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{3l^3\sqrt{21}}{49} = \frac{\pi l^3\sqrt{21}}{49}$.

Ответ: $\frac{\pi l^3\sqrt{21}}{49}$