Номер 545, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

545. На поверхности конуса имеются три попарно перпендикулярные образующие. Найдите полную поверхность конуса, учитывая, что его высота равна $h$.

Полная поверхность конуса $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$. Формула для полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi RL + \pi R^2 = \pi R(L+R)$, где $R$ — радиус основания конуса, $L$ — длина его образующей, $h$ — высота. Эти величины связаны соотношением $L^2 = R^2 + h^2$.

Для решения задачи нам необходимо выразить $R$ и $L$ через заданную высоту $h$.

Пусть $S$ — вершина конуса. По условию, существуют три образующие $SA$, $SB$ и $SC$, которые попарно перпендикулярны. Длины всех образующих конуса равны, поэтому $SA = SB = SC = L$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине конуса $S(0, 0, 0)$. Так как образующие $SA$, $SB$ и $SC$ взаимно перпендикулярны, мы можем направить оси координат вдоль них. Тогда точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на окружности основания конуса, будут иметь координаты: $A(L, 0, 0)$, $B(0, L, 0)$ и $C(0, 0, L)$.

Эти три точки определяют плоскость, в которой лежит основание конуса. Уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, имеет вид: $\frac{x}{L} + \frac{y}{L} + \frac{z}{L} = 1$, что эквивалентно $x + y + z - L = 0$.

Высота конуса $h$ — это расстояние от вершины $S(0, 0, 0)$ до плоскости основания. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ находится по формуле: $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Применяя эту формулу, находим высоту $h$: $h = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - L|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-L|}{\sqrt{3}} = \frac{L}{\sqrt{3}}$. Из этого соотношения выражаем длину образующей $L$ через высоту $h$: $L = h\sqrt{3}$.

Теперь найдем радиус основания $R$. Центр основания конуса $O$ — это точка пересечения оси конуса с плоскостью основания. Ось конуса проходит через вершину $S(0,0,0)$ и перпендикулярна плоскости основания, следовательно, ее направляющий вектор совпадает с вектором нормали к плоскости $\vec{n}=(1, 1, 1)$. Параметрические уравнения оси: $x=t, y=t, z=t$.

Чтобы найти координаты центра $O$, подставим уравнения оси в уравнение плоскости: $t + t + t = L \Rightarrow 3t = L \Rightarrow t = \frac{L}{3}$. Координаты центра основания: $O(\frac{L}{3}, \frac{L}{3}, \frac{L}{3})$.

Радиус основания $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой точки на окружности основания, например, до точки $A(L, 0, 0)$. Вычислим квадрат радиуса: $R^2 = (L - \frac{L}{3})^2 + (0 - \frac{L}{3})^2 + (0 - \frac{L}{3})^2 = (\frac{2L}{3})^2 + (-\frac{L}{3})^2 + (-\frac{L}{3})^2$ $R^2 = \frac{4L^2}{9} + \frac{L^2}{9} + \frac{L^2}{9} = \frac{6L^2}{9} = \frac{2L^2}{3}$. Отсюда $R = L\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Теперь выразим $R$ через $h$, используя ранее найденное соотношение $L = h\sqrt{3}$: $R = (h\sqrt{3}) \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = h\sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}} = h\sqrt{2}$.

Мы получили все необходимые параметры конуса, выраженные через его высоту: $L = h\sqrt{3}$ $R = h\sqrt{2}$

Подставим эти значения в формулу полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R(L+R) = \pi (h\sqrt{2})(h\sqrt{3} + h\sqrt{2})$ $S_{полн} = \pi h^2 \sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \pi h^2 (\sqrt{6} + 2)$.

Ответ: $S_{полн} = \pi h^2 (2 + \sqrt{6})$.