Номер 549, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

549. Можно ли описать около конуса четырехугольную пирамиду, стороны основания которой относятся как:

а) $2 : 3 : 4 : 5$;

б) $4 : 5 : 7 : 6$?

Для того чтобы четырехугольную пирамиду можно было описать около конуса, необходимо и достаточно, чтобы в основание этой пирамиды можно было вписать окружность (которая будет основанием конуса). Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$. Тогда должно выполняться условие: $a + c = b + d$.

а) Проверим это условие для четырехугольника, стороны которого относятся как 2 : 3 : 4 : 5. Пусть стороны равны $a = 2k, b = 3k, c = 4k, d = 5k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Найдем суммы противоположных сторон: $a + c = 2k + 4k = 6k$ $b + d = 3k + 5k = 8k$ Так как $6k \neq 8k$, условие не выполняется. Следовательно, в такой четырехугольник нельзя вписать окружность, а значит, и описать соответствующую пирамиду около конуса нельзя.
Ответ: нет.

б) Проверим это условие для четырехугольника, стороны которого относятся как 4 : 5 : 7 : 6. Пусть стороны равны $a = 4k, b = 5k, c = 7k, d = 6k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Найдем суммы противоположных сторон: $a + c = 4k + 7k = 11k$ $b + d = 5k + 6k = 11k$ Так как $11k = 11k$, условие выполняется. Следовательно, в такой четырехугольник можно вписать окружность, а значит, и описать соответствующую пирамиду около конуса можно.
Ответ: да.