Номер 555, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

555. Радиусы оснований усеченного конуса равны 9 см и 29 см, а высота — одному из радиусов основания. Найдите боковую поверхность и объем конуса.

По условию задачи, радиусы оснований усеченного конуса равны $r = 9$ см и $R = 29$ см. Высота $h$ равна одному из радиусов, что означает, что возможны два случая: $h = 9$ см или $h = 29$ см. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Высота равна меньшему радиусу ($h = 9$ см)

В этом случае имеем: $r = 9$ см, $R = 29$ см, $h = 9$ см.

1. Для нахождения площади боковой поверхности нам понадобится образующая $l$ усеченного конуса. Ее можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, разностью радиусов $(R - r)$ и самой образующей $l$ (которая является гипотенузой).

Формула для нахождения образующей: $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$.

Подставим наши значения:

$l = \sqrt{9^2 + (29 - 9)^2} = \sqrt{81 + 20^2} = \sqrt{81 + 400} = \sqrt{481}$ см.

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$ по формуле: $S_{бок} = \pi(R + r)l$.

$S_{бок} = \pi(29 + 9)\sqrt{481} = 38\pi\sqrt{481}$ см².

3. Найдем объем $V$ усеченного конуса по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot (29^2 + 29 \cdot 9 + 9^2) = 3\pi(841 + 261 + 81) = 3\pi \cdot 1183 = 3549\pi$ см³.

Ответ: при высоте $h = 9$ см, площадь боковой поверхности равна $38\pi\sqrt{481}$ см², а объем равен $3549\pi$ см³.

Случай 2: Высота равна большему радиусу ($h = 29$ см)

В этом случае имеем: $r = 9$ см, $R = 29$ см, $h = 29$ см.

1. Найдем образующую $l$ для этого случая:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{29^2 + (29 - 9)^2} = \sqrt{841 + 20^2} = \sqrt{841 + 400} = \sqrt{1241}$ см.

2. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi(29 + 9)\sqrt{1241} = 38\pi\sqrt{1241}$ см².

3. Найдем объем $V$ усеченного конуса:

Выражение $(R^2 + Rr + r^2)$ остается таким же, как и в первом случае: $1183$.

$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 29 \cdot (1183) = \frac{34307\pi}{3}$ см³.

Ответ: при высоте $h = 29$ см, площадь боковой поверхности равна $38\pi\sqrt{1241}$ см², а объем равен $\frac{34307\pi}{3}$ см³.