Номер 560, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

560. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как $4 : 5$, образующая длиной $l$ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.

Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно. По условию, их отношение равно $R : r = 5 : 4$. Следовательно, мы можем записать $R = 5k$ и $r = 4k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Площадь осевого сечения $S$, которое является трапецией, вычисляется по формуле:$S = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$, где $h$ — высота усеченного конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ (гипотенуза) и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $R-r$ (катет). Угол между образующей $l$ и плоскостью основания по условию равен $\alpha$. В этом треугольнике:

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:$h = l \cdot \sin\alpha$

Разность радиусов $R-r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:$R - r = l \cdot \cos\alpha$

Подставим выражения для $R$ и $r$ через $k$ в последнее уравнение:$5k - 4k = l \cdot \cos\alpha$$k = l \cdot \cos\alpha$

Теперь мы можем найти радиусы $R$ и $r$:$R = 5k = 5l \cos\alpha$$r = 4k = 4l \cos\alpha$

Найдем сумму радиусов:$R + r = 5l \cos\alpha + 4l \cos\alpha = 9l \cos\alpha$

Теперь подставим найденные выражения для $(R+r)$ и $h$ в формулу площади осевого сечения:$S = (R+r)h = (9l \cos\alpha) \cdot (l \sin\alpha) = 9l^2 \sin\alpha \cos\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, можно упростить выражение:$\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$$S = 9l^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \frac{9}{2}l^2 \sin(2\alpha)$

Ответ: $9l^2 \sin\alpha \cos\alpha$ или $\frac{9}{2}l^2 \sin(2\alpha)$.