Номер 564, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

564. Найдите геометрическое место точек:

а) отстоящих от данной точки на $m$;

б) отстоящих от данной точки не больше, чем на $m$;

в) расстояния которых от двух данных точек относятся как $m : n$;

г) являющихся центрами сфер с радиусом $R$, проходящих через данную точку;

д) из которых данный отрезок виден под прямым углом;

е) являющихся основаниями перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на плоскости, проходящие через точку $B$;

ж) являющихся центрами сфер данного радиуса $R$, касающихся данной плоскости;

з) являющихся центрами сфер, касающихся данной плоскости в данной точке $A$;

и) являющихся центрами сфер данного радиуса $R$, касающихся данной прямой;

к) являющихся центрами сфер, проходящих через вершины данного треугольника;

л) являющихся центрами сфер, проходящих через вершины данного прямоугольника;

м) являющихся центрами сфер, проходящих через вершины данной равнобедренной трапеции.

а) Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии $m$ от данной точки, по определению является сферой. Данная точка является центром этой сферы, а расстояние $m$ — её радиусом.
Ответ: Сфера с центром в данной точке и радиусом, равным $m$.

б) Множество точек, расстояние от которых до данной точки не превышает $m$, включает в себя как точки на сфере с радиусом $m$ (расстояние равно $m$), так и все точки внутри этой сферы (расстояние меньше $m$). Такое тело называется шаром.
Ответ: Шар с центром в данной точке и радиусом, равным $m$.

в) Пусть даны точки $A$ и $B$. Искомое ГМТ — это множество точек $M$, для которых выполняется соотношение $MA/MB = m/n$.
1. Если $m = n$, то $MA = MB$. Это ГМТ точек, равноудаленных от двух данных точек, что представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину.
2. Если $m \neq n$, то это ГМТ известно как сфера Аполлония. Центр этой сферы лежит на прямой $AB$.
Ответ: Если $m=n$, то это плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки, и проходящая через его середину. Если $m \neq n$, то это сфера (сфера Аполлония).

г) Пусть $O$ — центр сферы радиуса $R$, а $A$ — данная точка, через которую проходит сфера. По определению, расстояние от центра сферы до любой её точки равно радиусу. Следовательно, расстояние от центра $O$ до точки $A$ должно быть равно $R$. Таким образом, искомое ГМТ — это множество всех точек $O$, удаленных от данной точки $A$ на расстояние $R$.
Ответ: Сфера с центром в данной точке и радиусом $R$.

д) Пусть дан отрезок $AB$. Если из точки $M$ отрезок $AB$ виден под прямым углом, то треугольник $AMB$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$. Геометрическим местом вершин прямых углов всех таких треугольников является сфера, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре. Точки $A$ и $B$ не принадлежат этому ГМТ, так как в них угол не определен.
Ответ: Сфера, для которой данный отрезок является диаметром, за исключением концов этого отрезка.

е) Пусть даны точки $A$ и $B$. Пусть $\alpha$ — произвольная плоскость, проходящая через точку $B$. Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Так как точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $MB$ также лежит в этой плоскоosti. Следовательно, прямая $AM$ перпендикулярна прямой $MB$, то есть $\angle AMB = 90^\circ$. Таким образом, искомое ГМТ — это множество точек $M$, из которых отрезок $AB$ виден под прямым углом, что совпадает с задачей из пункта д).
Ответ: Сфера, для которой отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$, является диаметром, за исключением самих точек $A$ и $B$.

ж) Пусть $O$ — центр сферы радиуса $R$, а $\pi$ — данная плоскость. Условие касания сферы и плоскости означает, что расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\pi$ равно радиусу $R$. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии $R$ от данной плоскости $\pi$, — это две плоскости, параллельные плоскости $\pi$ и расположенные по обе стороны от нее на расстоянии $R$.
Ответ: Две плоскости, параллельные данной, и отстоящие от неё на расстояние $R$.

з) Пусть дана плоскость $\pi$ и точка $A$ на ней. Если сфера с центром $O$ касается плоскости $\pi$ в точке $A$, то радиус $OA$ должен быть перпендикулярен плоскости $\pi$. Следовательно, центр $O$ должен лежать на прямой, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной плоскости $\pi$. Сама точка $A$ исключается из этого ГМТ, так как она соответствует сфере нулевого радиуса.
Ответ: Прямая, перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку $A$, за исключением самой точки $A$.

и) Пусть $O$ — центр сферы радиуса $R$, а $l$ — данная прямая. Если сфера касается прямой $l$, то расстояние от её центра $O$ до прямой $l$ должно быть равно радиусу $R$. Геометрическое место точек, удаленных на расстояние $R$ от прямой $l$, представляет собой цилиндрическую поверхность (цилиндр вращения) с осью $l$ и радиусом $R$.
Ответ: Цилиндрическая поверхность с осью, совпадающей с данной прямой, и радиусом, равным $R$.

к) Пусть $A, B, C$ — вершины данного треугольника. Центр $O$ любой сферы, проходящей через эти три точки, должен быть равноудален от них, то есть $OA = OB = OC$. Множество точек, равноудаленных от $A$ и $B$, — это плоскость, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через его середину. Аналогично для точек $B$ и $C$. Искомое ГМТ является пересечением этих плоскостей. Это пересечение — прямая, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$ и проходящая через центр описанной около него окружности.
Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр описанной около него окружности.

л) Пусть $A, B, C, D$ — вершины прямоугольника. Центр сферы $O$ должен быть равноудален от всех вершин. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех его вершин в плоскости. Искомое ГМТ — это множество точек, равноудаленных от вершин $A, B, C, D$. Это прямая, перпендикулярная плоскости прямоугольника и проходящая через точку пересечения его диагоналей.
Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости прямоугольника и проходящая через точку пересечения его диагоналей.

м) Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность. Пусть $A, B, C, D$ — вершины трапеции. Центр $O$ сферы, проходящей через эти вершины, должен быть равноудален от них: $OA = OB = OC = OD$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех точек окружности, описанной около трапеции. Таким ГМТ является прямая, перпендикулярная плоскости трапеции и проходящая через центр этой описанной окружности.
Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости трапеции и проходящая через центр описанной около неё окружности.