Номер 571, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

571. Два круга, ограниченные сечениями сферы, взаимно перпендикулярны и имеют площади $185\pi \text{ см}^2$ и $320\pi \text{ см}^2$ (рис. 191). Найдите радиус сферы, учитывая, что общая хорда этих кругов имеет длину $16 \text{ см}$.

Рис. 191

Пусть $S_1 = 185\pi \text{ см}^2$ и $S_2 = 320\pi \text{ см}^2$ — площади двух круговых сечений сферы, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Найдем радиусы сечений:

$S_1 = \pi r_1^2 \implies 185\pi = \pi r_1^2 \implies r_1^2 = 185$.

$S_2 = \pi r_2^2 \implies 320\pi = \pi r_2^2 \implies r_2^2 = 320$.

Пусть $AB$ — общая хорда этих кругов, ее длина по условию составляет $l_{AB} = 16$ см. Пусть $M$ — середина хорды $AB$, тогда $AM = MB = 16 / 2 = 8$ см.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры первого и второго кругов соответственно. Расстояние от центра круга до хорды является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — радиус круга, а второй катет — половина длины хорды.

Для первого круга (с центром $O_1$):

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Катеты — $O_1M$ и $AM$, гипотенуза — $O_1A = r_1$.

По теореме Пифагора: $O_1A^2 = O_1M^2 + AM^2$.

$r_1^2 = O_1M^2 + 8^2 \implies 185 = O_1M^2 + 64 \implies O_1M^2 = 185 - 64 = 121$.

$O_1M = \sqrt{121} = 11$ см.

Для второго круга (с центром $O_2$):

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. Катеты — $O_2M$ и $AM$, гипотенуза — $O_2A = r_2$.

По теореме Пифагора: $O_2A^2 = O_2M^2 + AM^2$.

$r_2^2 = O_2M^2 + 8^2 \implies 320 = O_2M^2 + 64 \implies O_2M^2 = 320 - 64 = 256$.

$O_2M = \sqrt{256} = 16$ см.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $d_1 = OO_1$ и $d_2 = OO_2$ — расстояния от центра сферы до плоскостей сечений. Радиус сферы, радиус сечения и расстояние от центра сферы до плоскости сечения связаны соотношением $R^2 = d^2 + r^2$.

Для первого сечения: $R^2 = d_1^2 + r_1^2 = d_1^2 + 185$.

Для второго сечения: $R^2 = d_2^2 + r_2^2 = d_2^2 + 320$.

Так как плоскости сечений взаимно перпендикулярны, то и перпендикуляры к ним, проведенные из центра сферы, также взаимно перпендикулярны: $OO_1 \perp OO_2$. Следовательно, $\triangle OO_1O_2$ — прямоугольный.

Кроме того, отрезки $O_1M$ и $O_2M$ являются перпендикулярами к общей хорде $AB$ (линии пересечения плоскостей), проведенными в своих плоскостях. Так как плоскости перпендикулярны, угол между этими отрезками равен $90^\circ$, то есть $\triangle O_1MO_2$ — прямоугольный.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OO_1O_2$ по теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = OO_1^2 + OO_2^2 = d_1^2 + d_2^2$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle O_1MO_2$ по теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1M^2 + O_2M^2 = 11^2 + 16^2 = 121 + 256 = 377$.

Таким образом, мы получили уравнение: $d_1^2 + d_2^2 = 377$.

Приравняем выражения для $R^2$:

$d_1^2 + 185 = d_2^2 + 320 \implies d_1^2 - d_2^2 = 320 - 185 = 135$.

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} d_1^2 + d_2^2 = 377 \\ d_1^2 - d_2^2 = 135 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2d_1^2 = 377 + 135 \implies 2d_1^2 = 512 \implies d_1^2 = 256$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим: $2d_2^2 = 377 - 135 \implies 2d_2^2 = 242 \implies d_2^2 = 121$.

Теперь найдем радиус сферы $R$, подставив значение $d_1^2$ (или $d_2^2$) в соответствующую формулу для $R^2$:

$R^2 = d_1^2 + 185 = 256 + 185 = 441$.

$R = \sqrt{441} = 21$ см.

Ответ: 21 см.