Номер 573, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

573. Диаметр $MN$ сферы равен 50 см. Найдите длину линии на поверхности сферы, учитывая, что расстояния от каждой точки этой линии до точек $M$ и $N$ относятся как $3:4$ (рис. 192).

Рис. 192

Пусть дана сфера с диаметром $MN = 50$ см. Искомая линия на поверхности сферы — это геометрическое место точек $P$, для каждой из которых выполняется условие отношения расстояний (длин хорд) до концов диаметра $M$ и $N$: $PM : PN = 3 : 4$.

Рассмотрим любую точку $P$ на этой линии. Точки $M$, $N$ и $P$ лежат на сфере. Проведем сечение сферы плоскостью, проходящей через эти три точки. В сечении мы получим большую окружность сферы, в которую вписан треугольник $\triangle MPN$.

Так как сторона $MN$ треугольника $\triangle MPN$ является диаметром окружности, в которую он вписан, то этот треугольник является прямоугольным, с прямым углом при вершине $P$. То есть $\angle MPN = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MPN$ гипотенуза $MN = 50$ см. Катеты $PM$ и $PN$ относятся как $3:4$. Обозначим их длины как $PM = 3x$ и $PN = 4x$.

Применим теорему Пифагора: $PM^2 + PN^2 = MN^2$.

Подставим известные значения:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

$9x^2 + 16x^2 = 2500$

$25x^2 = 2500$

$x^2 = 100$

$x = 10$ см (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины катетов:

$PM = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см.

$PN = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Искомая линия на сфере представляет собой окружность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от точки $M$ (и от точки $N$). Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной диаметру $MN$. Чтобы найти длину этой окружности, нам нужно найти ее радиус $r$.

Радиус этой окружности $r$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle MPN$, проведенной из вершины прямого угла $P$ к гипотенузе $MN$.

Высоту $r$ можно найти, приравняв площади треугольника, вычисленные двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot PN = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot r$

Отсюда следует:

$PM \cdot PN = MN \cdot r$

$30 \cdot 40 = 50 \cdot r$

$1200 = 50r$

$r = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Итак, радиус окружности, образующей искомую линию, равен 24 см. Теперь найдем ее длину $L$ по формуле длины окружности $L = 2\pi r$.

$L = 2 \cdot \pi \cdot 24 = 48\pi$ см.

Ответ: $48\pi$ см.